Giải Toán 12 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 49 Tập 2 trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 49.

Giải Toán 12 trang 49 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 5.17 trang 49 Toán 12 Tập 2: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 0; −1) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(2;-1;3\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua B(3; −1; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;1;1\right)$

Vì $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=-2-1+3=0$ nên hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;-1;1\right)$, $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-4;-5;1\right)\ne \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=-8+5+1=-2\ne 0$

Do đó ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vậy nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.

Bài 5.18 trang 49 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là $\overrightarrow{v}=\left(2;1;6\right)$. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm $M\left(7;\frac{7}{2};21\right)$

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Lời giải:

Phương trình mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=4+6t\end{array}\right.$

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình chuyển động, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}7=1+2t\\ \frac{7}{2}=3+t\\ 21=4+6t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=3\\ t=\frac{1}{2}\\ t=\frac{17}{6}\end{array}\right.$

Ta thấy các giá trị t này đều khác nhau do đó điểm M không nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm M.

b) Thay tọa độ điểm N vào phương trình chuyển động của viên đạn ta có:

$\left\{\begin{array}{l}-3=1+2t\\ 1=3+t\\ -8=4+6t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=-2\\ t=-2\\ t=-2\end{array}\right.$

Suy ra điểm N nằm trên quỹ đạo chuyển động của viên đạn.

Do đó viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm N.

Bài 5.19 trang 49 Toán 12 Tập 2: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Lời giải:

Để viết được phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét ta cần xác định tọa độ của A (đỉnh cột) và A' (bóng của đỉnh cột).

Ta có A(0; 0; 6).

Hoành độ của điểm A' là x = 3cos60° = $\frac{1}{2}$

Tung độ của điểm A' là y = 3cos30° = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Do đó $A^{\text{'}}\left(\frac{1}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua A(0; 0; 6) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(\frac{1}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2};-6\right)$ có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{3\sqrt{3}}{2}t\\ z=6-6t\end{array}\right.$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 41
• Giải Toán 12 trang 42
• Giải Toán 12 trang 43
• Giải Toán 12 trang 44
• Giải Toán 12 trang 45
• Giải Toán 12 trang 46
• Giải Toán 12 trang 48

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---