Giải Toán 12 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với Giải Toán 12 trang 48 Tập 2 trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 48.

Giải Toán 12 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức

Quảng cáo

Luyện tập 10 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $Δ_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = s \\ y = 1 + 2 s \\ z = 3 s \end{cases}$

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{1}}} = (2; 1; - 1)$ .

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ_{2}}} = (1; 2; 3)$ .

Có $[\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] = (5; - 7; 3)$ , $\vec{A B} = (- 1; - 2; - 1)$

Có $\vec{A B} . [\vec{u_{Δ_{1}}}, \vec{u_{Δ_{2}}}] = - 5 + 14 - 3 = 6 \neq 0$

Vậy ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 2: (H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là $\vec{v_{1}} = (2; 1; 3)$ , $\vec{v_{2}} = (1; 2; 1)$ . Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?

Quảng cáo

Lời giải:

Hai vật thể chuyển động trên hai đường thẳng

Vật 1 chuyển động trên đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương $\vec{v_{1}}$

Vật 2 chuyển động trên đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương $\vec{v_{2}}$

Ta có $\vec{A B} = (2; 3; 0)$ và $[\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}] = (- 5; 1; 3)$

Có $\vec{A B} . [\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}] = - 10 + 3 = - 7 \neq 0$

Do đó hai đường thẳng này chéo nhau.

Vậy trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên không va chạm vào nhau.

Bài 5.11 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 5}{3}$

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 1; 3)$ .

Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận $\vec{u} = (2; 1; 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1; 3)$ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$

Quảng cáo

Bài 5.12 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 3; - 1)$

Vì ∆ ⊥ (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4), có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 3; - 1)$ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + 3 t \\ z = 4 - t \end{cases}$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{- 1}$

Bài 5.13 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).

Lời giải:

Có $\vec{A B} = (- 1; - 5; 5)$

Đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và nhận $\vec{A B} = (- 1; - 5; 5)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5 t \\ z = - 1 + 5 t \end{cases}$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 1}{5}$

Quảng cáo

Bài 5.14 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: $Δ_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 3 - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 8}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 2}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; - 1; 3)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(8; −2; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 1; 1; 2)$

Ta có $\vec{A B} = (7; - 5; 0)$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 5; - 7; 1) \neq \vec{0}$ (1).

Có $\vec{A B} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = - 35 + 35 = 0$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 5; - 7; 1) .$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 3; 2), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- 5; - 7; 1)$ có phương trình là: −5(x – 1) – 7(y – 3) + (z – 2) = 0 ⇔ 5x + 7y – z – 24 = 0 .

Bài 5.15 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: $Δ_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{x + 1}{1} = \frac{z}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (3; 1; 2)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua B(1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (3; 1; 2)$

Vì $\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}} = (3; 1; 2)$ và A ∉ ∆₂ do đó ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Có $\vec{A B} = (0; - 4; - 2)$

Mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{u_{1}}] = (- 6; - 6; 12)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (- 6; - 6; 12)$ có phương trình là: −6(x – 1) −6(y – 3) + 12(z – 2) = 0 ⇔ 6x + 6y – 12z = 0 hay x + y – 2z = 0.

Bài 5.16 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $Δ_{1} : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 1 \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = - 1 + 2 s \\ y = 2 + s \\ z = 1 + 3 s \end{cases}$