Đường tiệm cận xiên là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Đường tiệm cận xiên là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đường tiệm cận xiên là gì.

Đường tiệm cận xiên là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

* Để xác định hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng công thức sau:

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x};b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$hoặc$a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x};b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$

(khi a = 0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang).

Hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ ($a,m\ne 0$, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng $y=px+q+\frac{r}{mx+n}\left(p,q,r\in ℝ\right)$. Khi đó, đồ thị của hàm số có đường tiệm cận xiên là y = px + q.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm đường tiệm cận xiên

Ví dụ 1. Trong các đồ thị dưới đây, có bao nhiêu đồ thị có đường tiệm cận xiên?

Hướng dẫn giải

Có 2 đồ thị có đường tiệm cận xiên là:

Ví dụ 2. Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị (C) của hàm số $y=f\left(x\right)=x+\frac{x}{x^2-1}$. Chứng minh đường thẳng d: y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). Vẽ đường thẳng d lên cùng hệ trục tọa độ với (C).

Hướng dẫn giải

Vì$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x^2-1}=0$và$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x^2-1}=0$  nên đường thẳng d: y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).

Vẽ đường thẳng d lên cùng hệ trục tọa độ với (C):

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của các hàm số sau:

a) $y=f\left(x\right)=x+5+\frac{3}{x-4}$.

b) $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+1}{x}$.

Hướng dẫn giải

a)Vì$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x+5\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x-4}=0,$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x+5\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3}{x-4}=0$ nên đồ thị hàm số $y=x+5+\frac{3}{x-4}$ có đường tiệm cận xiên là y = x + 5.

b) Ta có: $y=\frac{x^2-3x+1}{x}=x-3+\frac{1}{x}$.

Vì$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ và$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$  nên đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có đường tiệm cận xiên là y = x – 3.

3. Bài tập về khái niệm đường tiệm cận xiên

Bài 1. Điền vào … để được câu đúng:

a) Nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(2x+3\right)\right]=0$ thì đường thẳng y = 2x – 3 là đường … của đồ thị hàm số y = f(x).

b) Nếu $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+4\right)\right]=\mathrm{...}$ thì đường thẳng y = … là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).

c) Đường thẳng y = 4x + 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(4x+3\right)\right]=\mathrm{...}$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(4x+3\right)\right]=\mathrm{...}$

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

Chọn các phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Đường thẳng x = 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).

b) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).

c) Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 đường tiệm cận.

d) Điểm I (2; 3) là giao điểm của đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).

Bài 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

a) $f\left(x\right)=-x+1+\frac{3}{x-2}$.

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{3}x+5-\frac{x}{x^2+2}$.

Bài 4. Chứng minh rằng đồ thị hàm số $y=60-\frac{1}{2}\sqrt{x^2+140}$ có một đường tiệm cận xiên là $y=60-\frac{1}{2}x$. Hãy chỉ ra thêm một đường tiệm cận khác của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 5. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số:

a) $y=\frac{x^2-4x+5}{2x-1}$.

b) $y=\frac{x^3-x^2+1}{2x^2+1}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đường tiệm cận đứng là gì

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là gì

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

---