Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm M₀ (x₀;y₀;z₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$là: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 hay Ax + By + Cz + D = 0 với D = −Ax₀ – By₀ – Cz₀.

2. Ví dụ minh họa về lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ví dụ 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua điểm A(0;4;1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;5)$ .

Hướng dẫn giải

(P) đi qua điểm A(0;4;1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;5)$ nên có phương trình:

1.(x – 0) + 2(y – 4) + 5(z – 1) = 0 hay x + 2y + 5z – 13 = 0.

Ví dụ 2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) biết (Q) đi qua điểm B(1;−2;0) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-3;-1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;3\right)$ .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Q) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=\left(-3;-1;2\right),\overrightarrow{b}=\left(1;1;3\right)$ , suy ra (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-5;11;-2\right)$

Phương trình của (Q) là: −5(x – 1)+ 11(y + 2) – 2(z – 0) hay 5x – 11y + 2z – 27 = 0.

Ví dụ 3. Lập phương trình mặt phẳng (A) biết (A) đi qua ba điểm M(0;1;1), N(3;2;2), P(4;3;5).

Hướng dẫn giải

(A) đi qua ba điểm M(0;1;1), N(3;2;2), P(4;3;5) nên có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left(3;1;1\right),\overrightarrow{MP}=\left(4;2;4\right)$ .

Ta có $\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=(2;-8;2)$  nên (A) nhận vec tơ $\overrightarrow{n}=\left(1;-4;1\right)$  làm vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình của (A) là: x – 4(y – 1) + (z – 1) = 0 hay x – 4y + z + 3 = 0.

3. Bài tập về lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Bài 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) biết (P) đi qua điểm I(3;−4;5) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;7;-1)$ .

Bài 2. Lập phương trình mặt phẳng (Q) biết (Q) đi qua điểm K(−1;2;3) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right),\overrightarrow{v}=\left(4;5;6\right)$ .

Bài 3. Lập phương trình mặt phẳng (α) biết (α) đi qua ba điểm M(1;1;1), N(0;4;0), P(2;2;0).

Bài 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;2;−1) và vuông góc với trục Ox.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với A(1;−1;3), B(0;2;4), D(2;−1;1), A’(0;1;2).

a. Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.

b. Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng là gì

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì

• Phương trình tham số của đường thẳng là gì

• Phương trình chính tắc của đường thẳng là gì

---