Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n\text{'}}=\left(A\text{'};B\text{'};C\text{'}\right)$tương ứng. Khi đó (α) ⊥ (β) ⇔ $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n\text{'}}$⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0.

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

2. Ví dụ minh họa về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Ví dụ 1. Cho hai mặt phẳng (α): x – y – 2z + 4 = 0; (β): x – y + z + 5 = 0. Chứng minh rằng (α) ⊥ (β).

Hướng dẫn giải

Hai mặt phẳng (α) và (β) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;-2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;-1;1\right)$ .

Vì $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.1+\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-2\right).1=0$ nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$ .

Vậy điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;−2), B(2;4;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 3y + z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(1;3;1\right)$ .

Vì mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q) nên (P) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(1;2;3\right),\overrightarrow{n_1}=\left(1;3;1\right)$ . Do đó (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_1}\right]=\left(-7;2;1\right)$ .

Khi đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: 7x – 2y – z – 5 = 0.

Ví dụ 3. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp mặt phẳng sau vuông góc (P): 2x + my + 3z – 6 + m = 0 và (Q): (m + 3)x – 2y + (m + 1) – 10 = 0.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có: $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left(2;m;3\right),\overrightarrow{n_{\left(Q\right)}}=\left(m+3;-2;m+1\right)$ . Vì (P) ⊥ (Q) nên ta có phương trình: 2(m + 3) – 2m + 3(m + 1) = 0 hay m = −3.

3. Bài tập về điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1. Cho hai mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + 4 = 0, (Q): x + y – z + 5 = 0. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q).

Bài 2. Tìm các cặp mặt phẳng vuông góc trong các mặt phẳng sau: (F): 3x + 2y + 5z + 3 = 0, (G): x – y + 3z + 24 = 0, (H): x – 4y + z + 23 = 0.

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z – 7 = 0.

Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1;2;−1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 4x – 2y + 6z – 11 = 0 và (Q): 2x + 2y + 2z – 7 = 0.

Bài 5. Tìm số thực m để mặt phẳng (P): 3x + 3y – z + 1 = 0 vuông góc với mặt phẳng (Q): (m – 1)x + y – (m + 3)z – 3 = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì

• Phương trình tham số của đường thẳng là gì

• Phương trình chính tắc của đường thẳng là gì

• Điều kiện hai đường thẳng vuông góc

---