Điều kiện hai đường thẳng vuông góc lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện hai đường thẳng vuông góc lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

Điều kiện hai đường thẳng vuông góc lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1,b_1,c_1\right),\overrightarrow{u_2}=\left(a_2,b_2,c_2\right)$ .

Khi đó ∆₁ ⊥ ∆₂ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u_1}\perp \overrightarrow{u_2}\iff a_1.a_2+b_1.b_2+c_1.c_2=0$ .

2. Ví dụ minh họa về điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc:

$d_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-3t\\ z=2-t\end{array}\right.,d_2:\left\{\begin{array}{l}x=2+s\\ y=1-2s\\ z=3+8s\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Các đường thẳng d₁, d₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(2;-3;-1\right),\overrightarrow{u_2}=\left(1;-2;8\right)$ . Do đó $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=2.1+\left(-3\right).\left(-2\right)+\left(-1\right).8=0$ . Vậy ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a. $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-3}{1};d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=7+t\\ z=9-8t\end{array}\right.$ .

b. $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-3}{1};d\text{'}:\frac{x+2}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-9}{1}$ .

Hướng dẫn giải

a. d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(3;5;1\right);\overrightarrow{a\text{'}}=\left(1;1;-8\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a\text{'}}=3+5-8=0$. Vậy d và d’ vuông góc.

b. d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(3;5;1\right);\overrightarrow{a\text{'}}=\left(2;1;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a\text{'}}=6+5+1=12\ne 0$. Vậy d và d’ không vuông góc.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?

Hướng dẫn giải

Trục Oz nhận $\overrightarrow{u}=\left(0;0;1\right)$ là vectơ chỉ phương; đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u\text{'}}=\left(2;1;-1\right)$. Khi đó $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u\text{'}}=0.2+0.1+1.\left(-1\right)=-1\ne 0$.

Vậy đường thẳng ∆ không vuông góc với trục Oz.

3. Bài tập về điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc:

$d_1:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=0\end{array}\right.,d_2:\left\{\begin{array}{l}x=1-2s\\ y=2s\\ z=1\end{array}\right.$.

Bài 2. Cho hai đường thẳng d: $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ , d’: $\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-1}$. Chứng minh d ⊥ d’.

Bài 3. Xét vị trí tương đối giữa d: $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=20\\ z=9\end{array}\right.$ và d’: $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=20\\ z=1+3t\text{'}\end{array}\right.$ , chúng có vuông góc với nhau không?

Bài 4. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a. $d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1};d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=t\\ z=-6+2t\end{array}\right.$ .

b. $d:\frac{x+2}{7}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+1}{1};d\text{'}:\frac{x+2}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-5}{2}$ .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}$ và d’: $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2m}=\frac{z}{3}$ . Tìm giá trị thực của tham số m để d ⊥ d’.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Phương trình chính tắc của đường thẳng là gì

• Công thức tính góc của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

• Công thức xác suất toàn phần

• Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì

• Bài toán tối ưu hóa là gì

---