Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tốc độ thay đổi của một đại lượng.

Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Đạo hàm f’(a) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y = f(x) đối với x tại điểm x = a. Ta xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hóa học, sinh học và kinh tế:

+ Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s”(t).

+ Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C’(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.

+ Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong 1 quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì P’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.

+ Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C’(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

+ Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1.

2. Ví dụ minh họa về tốc độ thay đổi của một đại lượng

Ví dụ 1. Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức s(t) = 2t³ – 4t² + 2t + 3, trong đó t là thời gian tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động của vật tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.

b) Tính gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

c) Tính quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm vận tốc của vật bằng 32 m/s.

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc của vật là: v(t) = s’(t) = 6t² – 8t + 2.

Ta có: v(2) = 6.2² – 8.2 + 2 = 10.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là 10 m/s.

b) Gia tốc của vật là: a(t) = v’(t) = 12t – 8.

Ta có: a(4) = 12.4 – 8 = 40 (m/s²).

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây là 40 m/s².

c) Ta có: v(t) = 32 $\iff$6t² – 8t + 2 = 32 $\iff$3t² – 4t – 15 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}t=3\left(TM\right)\\ t=\frac{-5}{3}\left(L\right)\end{array}\right.$

Quãng đường vật chuyển động khi t = 3 là: s(3) = 2.3³ – 4.3² + 2.3 + 3 = 27 (m).

Vậy quãng đường chuyển động của vật tại thời điểm vận tốc bằng 32 m/s là 27 m.

Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P\left(t\right)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$, trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 30 tế bào và tăng với tốc độ 15 tế bào/ giờ. Tìm các giá trị của a và b. Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Hướng dẫn giải

Ta có: $P\text{'}\left(t\right)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{{\left(b+e^{-0,75t}\right)}^2},t\ge 0$. Theo đầu bài, ta có P(0) = 30 và P’(0) = 15.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b+1}=30\\ \frac{0,75a}{{\left(b+1\right)}^2}=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=30\left(b+1\right)\\ \frac{22,5}{b+1}=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=45\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Nên $P\text{'}\left(t\right)=\frac{33,75e^{-0,75t}}{{\left(\frac{1}{2}+e^{-0,75t}\right)}^2}>0\forall t\ge 0$, hay số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Vì $\underset{t\to +\infty }{\lim }P\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{45}{\frac{1}{2}+e^{-0,75t}}=90$ nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 90 tế bào.

Ví dụ 3. Giả sử hàm chi phí C(x) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hóa được cho bởi hàm số C(x) = 40 000 + 200x – 2x² + 0,25x³.

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(300) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh C’(300) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 301.

Hướng dẫn giải

a) Hàm chi phí biên là: C’(x) = 200 – 4x + 0,75x².

b) C’(300) = 200 – 4.300 + 0,75.300² = 66 500.

Nên chi phí biên tại x = 300 là 66 500 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm 1 đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị hàng hóa thứ 301) là khoảng 66 500 nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 301 là:

C(301) – C(300) = 6 736 723,25 – 6 670 000 = 66 723,25.

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(300).

3. Bài tập về tốc độ thay đổi của một đại lượng

Bài 1. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = 2cos($\pi$t), trong đó s tính bằng mét, t tính bằng giây.

a) Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

b) Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

c) Tính vận tốc lớn nhất của chất điểm.

Bài 2. Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là: $C\left(x\right)=\frac{400x}{100-x}$ (triệu đồng), 0 ≤ x < 100.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = C(x). Từ đó cho biết:

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng?

b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Bài 3. Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) cho bởi hàm số $P\left(t\right)=\frac{25t^2+130}{t^2+1}$, 0 ≤ t ≤ 10, trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 6 giây kể từ khi máu rời tim.

Bài 4. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là f(t) = t³ – 27t + 4, t ≥ 0.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc của hạt.

b) Khi nào hạt chuyển động lên trên và khi nào hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4.

Bài 5. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người bị nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 60t² – t³ (người). Nếu coi f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 30], hãy xác định khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh giảm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức xác suất toàn phần

• Bài toán tối ưu hóa là gì

• Vectơ trong không gian là gì

• Hai vectơ cùng phương trong không gian là gì

• Hai vectơ bằng nhau trong không gian là gì

• Tổng của hai vectơ trong không gian

---