Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n\text{'}}=\left(A\text{'};B\text{'};C\text{'}\right)$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P),(Q)), được tính theo công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}}\right)\right|=\frac{\left|AA\text{'}+BB\text{'}+CC\text{'}\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{\text{'}}^2+B{\text{'}}^2+C{\text{'}}^2}}$.

2. Ví dụ minh họa về công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + y – z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2;2\right),\overrightarrow{n\text{'}}=\left(1;1;-1\right)$ .

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.1+2.1+2.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{9}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$. Do đó ((P),(Q)) ≈ 78,9°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho A(0;0;4), B(0;−3;0), C(0;3;0), D(3;0;0). Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (ABD) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BD}=\left(3;3;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(3;0;-4\right)$ . Suy ra vectơ pháp tuyến của (ABD) là $\overrightarrow{n}=\left(-12;12;-9\right)$ .

Tương tự ta có vectơ pháp tuyến của (ACD) là $\overrightarrow{n\text{'}}=\left(-12;-12;-9\right)$ .

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Khi đó: $\cos \phi =\frac{9}{41}$ . Suy ra φ ≈ 77°.

Vậy φ ≈ 77°.

Ví dụ 3. Cho hai mặt phẳng (P): 4x + my + mz + 1 = 0 và (Q): x – y – 3 = 0. Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60°.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(4;m;m\right)$; (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n\text{'}}=\left(1;-1;0\right)$ .

Do góc giữa hai mặt phẳng bằng 60° nên ta có:

$\begin{array}{l}\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}}\right)\right|=\cos 60°\\ \iff \frac{\left|m-4\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{2m^2+16}}=\frac{1}{2}\iff 4.{\left(m-4\right)}^2=2.\left(2m^2+16\right)\iff 32m=32\iff m=1\end{array}$

3. Bài tập về công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài 1. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng trong các trường hợp sau:

a. (P): 2x – y – 2z – 5 = 0 và (Q): x – y + 1 = 0.

b. (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 và (Q): x + 2y – z + 3 = 0.

Bài 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) trong mỗi trường hợp sau:

a. (P): 3x + 7y – z + 4 = 0 và (P’): x + y – 10z + 2025 = 0.

b. (P): x + y – 2z + 9 = 0 và (P’): 3x – 5y + z + 2024 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Cho biết A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0), S(0;0;2). Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Cho biết A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;5;0), A’(0;0;3). Tính góc giữa mặt phẳng (BB’D’D) và (AA’C’C).

Bài 5. Cho mặt phẳng (P): mx + 2y + mz – 12 = 0 và (Q): x + my + z + 3 = 0. Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Công thức tính góc của hai đường thẳng

• Công thức xác suất toàn phần

• Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì

• Bài toán tối ưu hóa là gì

• Vectơ trong không gian là gì

• Hai vectơ cùng phương trong không gian là gì

---