Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu f (x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m=\underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$ hoặc $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

Chú ý: Ta quy ước rằng khi nói giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) (mà không nói gì “trên tập D”) thì ta hiểu đó là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên tập xác định của hàm số.

2. Ví dụ minh họa về giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x + 5 trên đoạn [0; 3].

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(x) = 2x + 5 trên đoạn [0; 3].

Với mọi x ∈ [0; 3] ta có: f (x) = 2x + 5 ≥ 5. Mặt khác, f(0) = 5. Vậy $\underset{\left(0;3\right)}{\min }f\left(x\right)=5$

Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{8-2x^2}$.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là [–2; 2].

Vì $y=f\left(x\right)=\sqrt{8-2x^2}\ge 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{8-2x^2}=0\iff x=-2$ hoặc x = 2.

Do đó, $\underset{\left[-2;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)=f\left(-2\right)=0$.

Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 + 4|cos3x|.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là $ℝ$.

Vì |cos3x| ≥ 0 với mọi số thực x nên 3 + 4|cos3x| ≥ 3 với mọi số thực x.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của của hàm số là 3, đạt được khi

cos3x = 0 $\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)\iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy $\underset{ℝ}{\min }y=3$ khi $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

3. Bài tập về giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Trên khoảng (–∞; 6), hàm số y = f(x) có giá trị nhỏ nhất không? Nếu có, hãy chỉ ra giá trị đó.

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 6x + 9 với x ∈ [1; 6].

b) y = 10 – 2x với x ∈ [1; 8].

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) $y=\sqrt{75-3x^2}$.

b) y = 25 + 8x + 16x².

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $y=7+\frac{1}{2}\left|\sin 3x\right|$

b) y = sin2x + cos2x.

Bài 5. Cho hai số a, b ≥ 0 có a + b = 8. Tím giá trị nhỏ nhất của a² + b².

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Giá trị lớn nhất của hàm số là gì

• Cách tìm GTLN – GTNN của hàm số

• Đường tiệm cận ngang là gì

• Đường tiệm cận đứng là gì

• Đường tiệm cận xiên là gì

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

---