Bài 33 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1

Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bài 33 trang 33 SBT Toán 8 Tập 1: Tính tích x.y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số):

Quảng cáo

a) (4a² – 9)x = 4a + 4; với $a \neq \pm \frac{3}{2}$ và (3a³ + 3)y = 6a² + 9a với a ≠ – 1.

b) (2a³ – 2b³)x – 3b = 3a; với a ≠ b và (6a + 6b)y = (a – b)² với a ≠ – b.

(Chú ý rằng: $a^{2} + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a . \frac{b}{2} + \frac{b^{2}}{4} + \frac{3 b^{2}}{4} = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3 b^{2}}{4} \geq 0$ .

Do đó nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 thì a² + ab + b² > 0).

Lời giải:

a) Vì $a \neq \pm \frac{3}{2}$ nên 4a² – 9 = (2a – 3)(2a + 3) ≠ 0

Nên từ (4a² – 9)x = 4a + 4

Suy ra: $x = \frac{4 a + 4}{4 a^{2} - 9}$

Do 3a³ + 3 = 3(a³ + 1) = 3(a + 1)(a² – a + 1)

Vì a ≠ – 1 nên a + 1 ≠ 0 và $a^{2} - a + 1 = a^{2} - 2 . a . \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} = {(a - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0$

Do đó 3a³ + 3 ≠ 0.

Nên từ (3a³ + 3)y = 6a² + 9a

Suy ra: $y = \frac{6 a^{2} + 9 a}{3 a^{3} + 3}$

Do đó:

$x y = \frac{4 a + 4}{4 a^{2} - 9} . \frac{6 a^{2} + 9 a}{3 a^{3} + 3} = \frac{(4 a + 4) (6 a^{2} + 9 a)}{(4 a^{2} - 9) (3 a^{3} + 3)}$

$= \frac{4 (a + 1) . 3 a (2 a + 3)}{(2 a - 3) (2 a + 3) . 3 (a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

$= \frac{4 a}{(2 a - 3) (a^{2} - a + 1)}$ .

b) Tương tự, vì a ≠ b nên 2a³ – 2b³ = 2(a – b)(a² + ab + b²) ≠ 0.

Suy ra: $x = \frac{3 a + 3 b}{2 a^{3} - 2 b^{3}}$ .

Vì a ≠ – b nên a + b ≠ 0.

Suy ra: $y = \frac{{(a - b)}^{2}}{6 a + 6 b}$ .

Vậy $x y = \frac{3 a + 3 b}{2 a^{3} - 2 b^{3}} . \frac{{(a - b)}^{2}}{6 a + 6 b}$ $= \frac{3 (a + b) {(a - b)}^{2}}{2 (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) . 6 (a + b)}$