Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2

---

---

Ôn tập chương 4 - Câu hỏi & Bài tập

Video Bài 44 trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 44 (trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB (h.119). Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải

a)

Khi hình vuông ABCD quay quanh trục GO ta được hình trụ có đường kính đáy AB và chiều cao BC là: 

$V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.BC$

Mà AB = BC (do ABCD là hình vuông)

$\Rightarrow V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.AB=\pi \frac{A{B}^3}{4}$

Do ABCD là hình vuông nên ta có: $AC\perp BD$ tại O

Do đó, tam giác OAB vuông tại O

Xét tam giác OAB vuông tại O

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có: 

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2=R^2+R^2=2R^2$

$\Rightarrow AB=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}$

$\Rightarrow V=\pi \frac{A{B}^3}{4}=\pi \frac{{\left(R\sqrt{2}\right)}^3}{4}=\pi \frac{R^3\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V^2={\left(\pi \frac{R^3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2{R}^6}{2}$ (1)

Thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn có bán kính R là: $V_1=\frac{4}{3}\pi R^3$

Kẻ GH vuông góc với EF tại H

Thể tích hình nón sinh ra bởi tam giác đều GEF có bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{EF}{2}$ là:

$V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2.GH$

Do tam giác GEF đều nên

GH là đường cao (do GH vuông góc với EF tại H) và cũng là đường trung tuyến 

$\Rightarrow HE=HF=\frac{EF}{2}$

Xét tam giác GEH vuông tại H 

Áp dụng định lý Py–ta–go ta có:

$G{E}^2=G{H}^2+H{E}^2$

Mà GE = EF (do tam giác GEF đều)

$\Rightarrow E{F}^2=G{H}^2+{\left(\frac{EF}{2}\right)}^2$

$\Rightarrow E{F}^2-{\left(\frac{EF}{2}\right)}^2=G{H}^2$

$\Rightarrow \frac{3}{4}E{F}^2=G{H}^2$

$\Rightarrow E{F}^2=\frac{4}{3}G{H}^2$

Do tam giác GEF đều nên O là trực tâm và cũng là trọng tâm

$\Rightarrow GH=\frac{3}{2}GO=\frac{3}{2}R$

$\Rightarrow E{F}^2=\frac{4}{3}.{\left(\frac{3}{2}R\right)}^2=3R^2$

$\Rightarrow EF=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2.GH=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2.\frac{3}{2}R=\frac{3}{8}\pi R^3$

Ta có: $V_1{V}_2=\frac{4}{3}\pi R^3.\frac{3}{8}\pi R^3=\frac{{\pi }^2{R}^6}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $V^2=V_1.V_2$

b) 

Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính $\frac{AB}{2}$ và chiều cao BC là: 

$S=S_{xq}+S_d=2\pi .\frac{AB}{2}.BC+\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=2\pi .\frac{R\sqrt{2}}{2}.R\sqrt{2}+\pi {\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$=3\pi R^2$

$\Rightarrow S^2={\left(3\pi R^2\right)}^2=9{\pi }^2{R}^4$ (3)

Diện tích mặt cầu có bán kính R là: $S_1=4\pi R^2$

Diện tích toàn phần của hình nón là: 

$S_2=S_{xq}+S_d=\pi .\frac{EF}{2}.FG+\pi .{\left(\frac{EF}{2}\right)}^2=\pi .\frac{R\sqrt{3}}{2}.R\sqrt{3}+\pi .{\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{9\pi R^2}{4}$

$\Rightarrow S_1{S}_2=4\pi R^2.\frac{9\pi R^2}{4}=9{\pi }^2{R}^4$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $S^2=S_1{S}_2$.

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài Ôn tập chương 4 khác:

• Mục lục Chương IV: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

• Trả lời Câu hỏi ôn tập chương 4 phần Hình học (Câu 1,2 trang 128 SGK Toán 9 Tập 2): 1. Hãy phát biểu bằng lời: ... 2. Hãy nêu cách tính diện tích xung quanh và ...

• Bài 38 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo ...

• Bài 39 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2): Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi ...

• Bài 40 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo ...

• Bài 41 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2): Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự đó, OA = a, OB = b ...

• Bài 42 (trang 130 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).

• Bài 43 (trang 130 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã ho (h.118) ...

• Bài 44 (trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2): Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R ...

• Bài 45 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2): Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, ...

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 4 khác:

• Bài 1: Hình Trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ - Luyện tập (trang 111-112-113)
• Bài 2: Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt - Luyện tập (trang 119-120)
• Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu - Luyện tập (trang 126)
• Ôn tập chương 4 (Câu hỏi - Bài tập)
• Bài tập ôn cuối năm (Phần Đại Số - Phần Hình Học)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sách bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---