Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của phép nhân vectơ với một số.

Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 (chi tiết nhất)

1. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ với hai số thực h, k, ta có:

$\begin{array}{c}k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};k\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}.\\ \left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a.}\\ h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a.}\\ 1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.\\ \left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a.}\end{array}$

Đặc biệt $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$.

Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ với điểm M bất kì.

Tính chất trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với điểm M bất kì.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của phép nhân vectơ với một số

Ví dụ 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:

a. $5\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$.

b. $\overrightarrow{a}\left(x+2\right)$.

c. $-3\left(4\overrightarrow{e}\right)$.

d. $\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{c}$.

Hướng dẫn giải

a. $5\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=5\overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v}$.

b. $\overrightarrow{a}\left(x+2\right)=x\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}$.

c. $-3\left(4\overrightarrow{e}\right)=-12\overrightarrow{e}$.

d. $\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{c}$.

Ví dụ 2. Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$ (đpcm).

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn:

$3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD, ta có:

$3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$.

Để $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}$.

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AG.

3. Bài tập về tính chất của phép nhân vectơ với một số

Bài 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:

a. $2\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)$.

b. $\overrightarrow{m}\left(a+b\right)$.

c. $5\left(-2\overrightarrow{e}\right)$.

d. $7\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{c}$.

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng:

a. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$.

b. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

c. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OG}$ với điểm O bất kì.

Bài 3. Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a. $2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$.

b. $3\left(5\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{CB}-14\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC.

a. Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

b. Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy ba điểm M, N, P sao cho $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB};$$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Định lí sin

• Hai vectơ bằng nhau

• Tổng của hai vectơ

• Vectơ đối là gì

• Hiệu của hai vectơ

• Tích của một vectơ với một số

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---