Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của phép nhân vectơ với một số.

Tính chất của phép nhân vectơ với một số lớp 10 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTT Xem Khóa học Toán 10 CD Xem Khóa học Toán 10 CTST

Quảng cáo

1. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ bất kì $\vec{a}, \vec{b}$ với hai số thực h, k, ta có:

$\begin{matrix} k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}; k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b} . \\ (h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a .} \\ h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a .} \\ 1. \vec{a} = \vec{a} . \\ (- 1) \vec{a} = - \vec{a .} \end{matrix}$

Đặc biệt $k \vec{a} = \vec{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a} = \vec{0}$ .

Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ với điểm M bất kì.

Tính chất trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ với điểm M bất kì.

2. Ví dụ minh họa về tính chất của phép nhân vectơ với một số

Ví dụ 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:

Quảng cáo

a. $5 (\vec{u} + \vec{v})$ .

b. $\vec{a} (x + 2)$ .

c. $- 3 (4 \vec{e})$ .

d. $\vec{c} - 2 \vec{c}$ .

Hướng dẫn giải

a. $5 (\vec{u} + \vec{v}) = 5 \vec{u} + 5 \vec{v}$ .

b. $\vec{a} (x + 2) = x \vec{a} + 2 \vec{a}$ .

c. $- 3 (4 \vec{e}) = - 12 \vec{e}$ .

d. $\vec{c} - 2 \vec{c} = - \vec{c}$ .

Ví dụ 2. Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3 (\vec{A B} + 2 \vec{B C}) - 2 (\vec{A B} + 3 \vec{B C}) = \vec{A B}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $3 (\vec{A B} + 2 \vec{B C}) - 2 (\vec{A B} + 3 \vec{B C}) = 3 \vec{A B} + 6 \vec{B C} - 2 \vec{A B} - 6 \vec{B C} = \vec{A B}$ (đpcm).

Quảng cáo

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M thỏa mãn:

$3 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{0}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD, ta có:

$3 \vec{M G} = \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D}$ .

Để $3 \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{0}$ khi và chỉ khi $3 \vec{M A} + 3 \vec{M G} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M G} = \vec{0}$ .

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AG.

3. Bài tập về tính chất của phép nhân vectơ với một số

Bài 1. Thực hiện các phép toán vectơ sau:

a. $2 (\vec{u} - \vec{v})$ .

b. $\vec{m} (a + b)$ .

c. $5 (- 2 \vec{e})$ .

d. $7 \vec{c} - 2 \vec{c}$ .

Quảng cáo

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh rằng:

a. $\vec{A D} + \vec{B C} = 2 \vec{M N}$ .

b. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

c. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O G}$ với điểm O bất kì.

Bài 3. Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a. $2 \vec{A B} + 2 \vec{B C} = 2 \vec{A C}$ .

b. $3 (5 \vec{A C}) + \vec{C B} - 14 \vec{A C} = \vec{A B}$ .

Bài 4. Cho tam giác ABC.

a. Tìm điểm M sao cho $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0}$ .

b. Tìm điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0}$ .

Bài 5. Cho tam giác ABC. Lấy ba điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}; \vec{A N} = 3 \vec{N B};$ $\vec{C P} = \vec{P A}$ . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.