Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán kinh tế (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).

– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x; y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bác Lan trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Lan cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất ? Biết rằng bác Lan chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.

Hướng dẫn giải:

Gọi x là số hecta đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh nên ta có: x ≥ 0, y ≥ 0.

Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên x + y ≤ 8.

Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên 20x + 30y ≤ 180.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc.

$\left\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Bất phương trình x + y ≤ 8 hay x + y – 8 ≤ 0 có: Điểm (0; 0)  không nằm trên đường thẳng x + y – 8 = 0 và 0 + 0 – 8 = –8 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng có kể bờ x + y – 8 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 hay 20x + 30y – 180 ≤ 0 có: Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng 20x + 30y – 180 = 0 và 20.0 + 30.0 – 180 = –180 < 0 nên  miền nghiệm của bất phương trình 20x + 30y ≤ 180 là nửa mặt phẳng có kể bờ 20x + 30y – 180 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Bất phương trình x ≥ 0 có: Điểm (1; 0) không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm (1; 0).

Bất phương trình y ≥ 0 có: Điểm (0; 1) không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm (0; 1)

Miền màu trắng trong hình vẽ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 20x+30y\le 180\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

Ta thu được miền tứ giác OABC. Tọa độ các đỉnh tứ giác đó là O(0; 0), A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0).

Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Lan thu được, ta có: F = 40x + 50y.

Ta có:

Tại O(0; 0) thì F = 40.0 + 50.0 = 0

Tại B(6; 2) thì F = 40.6 + 50.2 = 340

Tại A(0; 6) thì F = 40.0 + 50.6 = 300

Tại C(8; 0) thì F = 40.8 + 50.0 = 320

Vậy F đạt giá trị lớn nhất tại B(6; 2).

Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Lan cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.

Ví dụ 2. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800 000 đồng, trên sóng truyền hình là 4 000 000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16 000 000 đồng cho quảng cáo. Hãy lập bất phương trình mô tả chi phí đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình của công ty đó và biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x phút, trên truyền hình là y phút. Chi phí cho việc quảng cáo là: 800 000x + 4 000 000y (đồng)

Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 16 000 000 đồng nên ta có: 800 000x + 4 000 000y ≤ 16 000 000

⇔ x + 5y ≤ 20

⇔ x + 5y – 20 ≤ 0 (1)

Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút nên ta có: x ≥ 5 ⇔ x – 5 ≥ 0 (2).

Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút nên ta có: y ≤ 4 ⇔ y – 4 ≤ 0      (3)

Đồng thời do x, y là thời lượng quảng cáo nên: x ≥ 0 (4), y ≥ 0 (5).

Hiệu quả chung của quảng cáo là: x + 6y.

Xét bất phương trình (1) và điểm (0; 0). Ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x + 5y – 20 = 0 và 0 + 5.0 – 20 ≤ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (1) là nửa mặt phẳng có kể bờ x + 5y – 20 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình (2) và điểm (0; 0) ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x – 5 = 0 và 0 – 5 = –5 < 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (2) là nửa mặt phẳng có kể bờ x – 5 = 0 và không chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình (3) và điểm (0; 0) ta có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng y – 4 = 0 và 0 – 4 = – 4 ≤ 0 nên miền nghiệm của bất phương trình (3) là nửa mặt phẳng có kể bờ y – 4 = 0 và chứa điểm (0; 0).

Xét bất phương trình (4) và điểm A(1; 2) có:

Điểm A không nằm trên đường thẳng x = 0 và 1 ≥ 0, do đó, miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ x = 0 và chứa điểm A(1; 2).

Xét bất phương trình (5) và điểm B(0; 1) có:

Điểm B không nằm trên đường thẳng y = 0 và 1 ≥ 0, do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng có kể bờ y = 0 và chứa điểm B(0; 1).

Kết hợp miền nghiệm của các bất phương trình (1), (2), (3), (4), (5) ta được miền nghiệm thỏa mãn màu trắng trong hình vẽ.

Để quảng cáo đạt hiệu quả nhất thì M(x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm (5; 3), (5; 0), (20; 0). Ta có: M(5; 3) = 23, M(5; 0) = 5, M(20; 0) = 20.

Do đó, giá trị lớn nhất của M(x; y) bằng 23 tại (5; 3).

Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lợi nhuận 30 000 đồng. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1 200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất ?

A. 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II;

B. 40 kg sản phẩm loại I và 20 kg sản phẩm loại II;

C. 10 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II;

D. 20 kg sản phẩm loại I và 20 kg sản phẩm loại II.

Bài 2. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất.

A. 5 lít nước cam và 6 lít nước táo;

B. 4 lít nước cam và 5 lít nước táo;

C. 3 lít nước cam và 6 lít nước táo;

D. 5 lít nước cam và 4 lít nước táo.

Bài 3. Trong cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20 kg gạo nếp, 2 kg thịt, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh. Để gói một cái bánh ống cần 0,6 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt và 0,15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất ?

A. 40 cái bánh chưng;

B. 20 cái bánh chưng;

C. 40 cái bánh ống;

D. 20 cái bánh ống.

Bài 4. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để số tiền bỏ ra là ít nhất ?

A. 0,4 kg thịt bò và 0,7 kg thịt lợn;

B. 0,6 kg thịt bò và 1,7 kg thịt lợn;

C. 1,6 kg thịt bò và 2,7 kg thịt lợn;

D. 0,6 kg thịt bò và 0,7 kg thịt lợn.

Bài 5. Một gia đình định trồng cà phê và ca cao trên diện tích 10 ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng ca cao thì cần 30 công và thu 12 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất. Biết rằng cà phê do các thành viên trong gia đình tự chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn ca cao gia đình thuê người làm với giá 100 000 đồng cho mỗi công ?

A. 5 ha cà phê và 6 ha ca cao;

B. 4 ha cà phê và 6 ha ca cao;

C. 4 ha cà phê và 5 ha ca cao;

D. 10 ha cà phê và 6 ha ca cao.

Bài 6. Một nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 8 ha. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất biết rằng tổng số công không quá 180 ?

A. 6 ha đậu và 2 ha cà;

B. 6 ha đậu và 3 ha cà;

C. 4 ha đậu và 2 ha cà;

D. 6 ha đậu và 0 ha cà.

Bài 7. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng loại 1 và loại 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại B lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy loại 1 trong 3 giờ và máy loại 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy loại 1 trong 1 giờ và máy loại 2 trong 1 giờ. Máy loại 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy loại 2 làm việc không quá 4 giờ 1 ngày. Hỏi cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại A và loại B để số tiền lãi mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là lớn nhất?

A. 1 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn sản phẩm loại B;

B. 2 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn sản phẩm loại B;

C. 4 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn sản phẩm loại B;

D. 3 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn sản phẩm loại B.

Bài 8. Một công ty cho thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất ?

A. 3 xe loại A và 4 xe loại B;

B. 4 xe loại A và 4 xe loại B;

C. 5 xe loại A và 4 xe loại B;

D. 6 xe loại A và 4 xe loại B.

Bài 9. Một nông dân định trồng cà chua và cà pháo trên diện tích 7 ha. Nếu trồng cà chua thì cần 10 công và thu 1 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng cà pháo thì cần 20 công và thu 2 000 000 đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất biết rằng tổng số công không quá 100 ?

A. 6 ha cà chua và 2 ha cà pháo;

B. 6 ha cà chua và 3 ha cà pháo;

C. 4 ha cà chua và 3 ha cà pháo;

D. 6 ha cà chua và 0 ha cà pháo.

Bài 10. Một nông dân định chăn nuôi gà và lợn trên diện tích 20 mét vuông. Nếu nuôi lợn thì cần 40 công và thu 5 000 000 đồng trên diện tích mỗi mét vuông, nếu nuôi gà thì cần 20 công và thu 2 000 000 đồng trên diện tích mỗi mét vuông. Hỏi cần nuôi mỗi loài vật trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất biết rằng tổng số công không quá 200 ?

A. 10 mét vuông nuôi lớn, 2 mét vuông nuôi gà;

B. 5 mét vuông nuôi lớn, 0 mét vuông nuôi gà;

C. 8 mét vuông nuôi lớn, 2 mét vuông nuôi gà;

D. 4 mét vuông nuôi lớn, 2 mét vuông nuôi gà.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Cách xác định một hàm số, cách cho một hàm số

• Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số

• Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Cách vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

• Xác định hàm số bậc hai

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---