Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải.

- Với hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), ta nói:

Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu: ∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu: ∀ x₁, x₂ ∈ (a; b), x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

- Khi hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi lên từ trái sang phải. Ngược lại, khi hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (a; b) thì đồ thị của nó có dạng đi xuống từ trái sang phải.

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = x² trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = x² trên khoảng (–∞; 0).

Lấy x₁, x₂ tùy ý sao cho x₁ < x₂, ta có: f(x₁) – f(x₂) = x₁² – x₂² = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂)

Do x₁ < x₂  nên x₁ – x₂ < 0 và do x₁, x₂ thuộc (–∞; 0) nên x₁ + x₂ < 0.

Từ đó suy ra: f(x₁) – f(x₂) > 0 hay f(x₁) > f(x₂)

Do đó, khi x₁ < x₂   thì f(x₁) > f(x₂)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (–∞; 0).

Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng (–3; –2), (–2; 5), (5; 7).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:

+ Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).

+ Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).

+ Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hàm số​​ f(x) = 4 – 3x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.​​ Hàm số​​ đồng biến​​ trên​​ (–∞; 43);

B.​​ Hàm số​​ nghịch biến trên​​ (43; +∞);​​

C.​​ Hàm số​​ đồng biến trên​​ ℝ;

D.​​ Hàm số​​ đồng biến trên​​ (34; +∞).

Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số​​ f(x) = 4x + 5​​ trên khoảng​​ (–∞; 2)​​ và trên khoảng​​ (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.​​ Hàm số​​ nghịch biến trên​​ (–∞; 2),​​ đồng biến trên​​ (2; +∞);

B.​​ Hàm số​​ đồng biến trên​​ (–∞; 2),​​​​ nghịch biến trên​​ (2; +∞);

C.​​ Hàm số​​ nghịch biến trên các khoảng​​ ​​(–∞; 2) và​​ (2; +∞);

D.​​ Hàm số​​ đồng biến trên các khoảng​​ ​​(–∞; 2) và​​ (2; +∞).

Bài 3. Xét sự​​ biến thiên của hàm số​​ f(x) = 3x​​ trên khoảng​​ (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.​​ Hàm số​​ đồng biến trên khoảng​​ (0; +∞);

B.​​ Hàm số​​ nghịch biến trên khoảng​​ (0; +∞);

C.​​ Hàm số​​ vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng​​ (0; +∞);

D.​​ Hàm số​​ không đồng biến, cũng không nghịch biến trên khoảng​​ (0; +∞).

Bài 4. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = –0,5x. Khẳng định nào sau đây là sai:

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 10);

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 5);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–5; –2022);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (100; 10000).

Bài 5. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:

Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 6. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:

Khẳng định nào dưới đây là sai ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 3);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 7. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:

Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4);

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 0);

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Bài 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (–1; 0) ?

A. y = x;

B. $y=\frac{1}{x}$;

C. y = |x|;

D. y = x².

Bài 9. Cho hàm số y = 2x². Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; +∞);

B. Hàm số trên nghịch biến trên khoảng (0; +∞);

C. Hàm số trên đồng biến trên ℝ;

D. Hàm số trên nghịch biến trên ℝ.

Bài 10. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4}{x+1}$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. f(x) đồng biến trên khoảng (–∞; –1) và nghịch biến trên khoảng (–1; +∞);

B. f(x) đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);

C. f(x) nghịch biến trên khoảng (–∞; –1) và đồng biến trên khoảng (–1; +∞);

D. f(x) nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Cách vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

• Xác định hàm số bậc hai

• Tìm điều kiện của m để hàm số là hàm số bậc hai

• Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai

• Xét sự biến thiên của hàm số bậc hai

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---