Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Với Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối

Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

A. Phương pháp giải

Ta có các tính chất sau : 

Tính chất 1: Với hai số thực a, b tùy ý:

Tính chất 2: Ta có:

Tính chất 3: Ta có:

Tính chất 4: Ta có:

*Với phương trình ta sử dụng các tính chất:

Tính chất 1: Nếu:

Tính chất 2: Nếu:

Tính chất 3: Nếu:

Tính chất 4: Nếu:

B. Ví dụ minh họa 

Câu 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

Câu 2: Giải phương trình:

Lời giải:

Ta biến đổi phương trình về dạng:

Vậy, phương trình có nghiệm là x≥1.

Câu 3: Cho số thực x thỏa mãn

Chứng minh rằng x≥2

Lời giải:

Ta có:

Câu 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

b) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt được giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức  ta có

Dễ thấy khi x = 1 thì A = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2

b) Theo nhận xét trên, dấu "=" ở bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

Ta có bảng xét dấu:

 Dựa vào bảng ta có

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Chứng minh rằng  :

         

Câu 2: Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất:

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có:

Câu 4: 

a)  Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có |a ± b| ≥ |a| - |b|.
b) Biết rằng | a | > 2 | b |. Chứng minh rằng |a| < 2|a - b|.

Câu 5: Chứng minh rằng:
a. Nếu x ≥ y ≥ 0 thì  

 

b. Với hai số a, b tuỳ ý, ta có 

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
• Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
• Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---