Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki
Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki
A. Phương pháp giải
a) Bất đẳng thức Cô – si
Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:
, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Mở rộng:
a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
b. Với n số không âm, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:
- Cho cặp số a, b, ta được:
- Cho cặp số
, ta được:
Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:
Dấu bằng xảy ra khi:
Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Giải.
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:
Lời giải:
Ta có:
Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:
Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:
Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:
Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng
Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng:
D. Bài tập bổ sung
Bài 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rẳng:
Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rẳng:
Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:
Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
2xyz(x+y+z)
Bài 5. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:
- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
- Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
- Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
- Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối
- Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều