Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Bài viết Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
Để rút gọn phân thức cho trước ta làm như sau
Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi cả tử thức và mẫu thức.
Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức đã học để rút gọn phân thức đã cho.
Nhắc lại các tính chất cơ bản của phân thức
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
(với là phân thức; B, M0)
- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.
(với N là nhân tử chung của A và B)
- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.
(với B0)
- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.
(với B0)
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn phân thức
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau
Bước 1: Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung.
Bước 2: Rút gọn bằng cách triệt tiêu nhân tử chung.
Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất A = – (– A)).
Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau: với
Lời giải:
với
Ví dụ 2: Đơn giản phân thức sau với
Lời giải:
với
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức
Phương pháp giải: Chọn 1 trong ba cách biến đổi sau
Cách 1: Biến đổi vế trái thành vế phải
Cách 2: Biến đổi vế phải thành vế trái
Cách 3: Biến đổi đồng thời cả hai vế
Chú ý: Sử dụng các tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi, rút gọn.
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức:
với
Lời giải:
Đặt
Ta biến đổi vế trái
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho và
Với
Chứng minh P = Q
Lời giải:
Ta có:
(1)
Ta lại có
(2)
Từ (1) và (2) (điểu phải chứng minh)
Dạng 3: Chứng minh một phân thức là phân thức tối giản
Phương pháp giải: Ta chứng minh tử thức và mẫu thức có ước chung lớn nhất là 1 hoặc -1
Bước 1: Gọi ước chung lớn nhất của tử thức và mẫu thức là d
Bước 2: Chứng minh d1
Chú ý: Cần vận dụng các kiến thức liên quan đến ước và bội, tính chất chia hết…
+ Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.
+ Tính chất chia hết của một tổng(hiệu):
+ Tính chất chia hết của một tích:
Ví dụ 1: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n:
a)
b)
Lời giải:
a)
Gọi ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 5n + 2 là d
(áp dụng tính chất chia hết của một hiệu)
hoặc d = -1
Vậy là phân số tối giản với
b)
Gọi ước chung của 2n – 1 và là d
(áp dụng tính chất chia hết của một tích)
(áp dụng tính chất chia hết của một hiệu).
(áp dụng tính chất chia hết của một tổng)
hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với
Ví dụ 2: Trong các phân thức sau, phân thức nào tối giản
a)
b)
Lời giải:
a)
Gọi d là ước chung lớn nhất của và
hoặc d = -1
Vậy phân thức tối giản.
b)
Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d
Ngoài hai ước là 1 và – 1 thì tử thức và mẫu thức đã cho còn có thêm ít nhất một ước nữa là 2.
Vậy phân thức không là phân thức tối giản.
Dạng 4: Tìm giá trị nguyên của biến x để phân thức đạt giá trị nguyên
Phương pháp giải: Phân thức
Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được
Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên
Bước 2: Để nguyên thì nguyên hay B(x)Ư(m)
Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận.
Ví dụ: Tìm x nguyên để các phân thức sau nhận giá trị nguyên
a)
b)
Lời giải:
a) Để phân thức nguyên thì Ư(3) với điều kiện x-1
Ư(3) =
x + 1 |
-3 |
-1 |
1 |
3 |
x |
-4 (thỏa mãn) |
-2 (thỏa mãn) |
0 (thỏa mãn) |
2 (thỏa mãn) |
Vậy để phân thức nguyên thì
b) với x
Để nguyên thì nguyên hay
Ư(7)
Ư(7) =
2x - 1 |
-7 |
-1 |
1 |
7 |
2x |
-6 |
0 |
2 |
8 |
x |
-3 (thỏa mãn) |
0 (thỏa mãn) |
1 (thỏa mãn) |
4 (thỏa mãn) |
Vậy để phân thức nguyên thì
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tối giản các phân thức sau
a)
b)
Bài 2: Rút gọn phân thức sau:
Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau:
a) với
b) với
Bài 4: Chứng minh các phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n
a)
b)
Bài 5: Tìm x nguyên để phân thức sau đạt giá trị nguyên
a)
b)
c)
d)
Bài 6: Các phân thức sau đây phân thức nào tối giản?
a)
b)
c)
Bài 7: Cho hai phân thức sau
và với
Hai phân thức trên có bằng nhau không?
Bài 8: Rút gọn phân thức .
Bài 9: Rút gọn phân thức với .
Bài 10: Chứng tỏ hai phân thức và bằng nhau.
Với .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và cách giải bài tập
- Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập
- Rút gọn biểu thức hữu tỉ và cách giải bài tập
- Tính giá trị của phân thức và cách giải bài tập
- Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều