Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Bài viết Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
1. Phân thức nhận giá trị âm, phân thức nhận giá trị dương
Phân thức khi A(x); B(x) cùng dấu
Phân thức khi A(x); B(x) trái dấu
2. Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên
(B(x)0)
Phân thức chỉ nguyên khi C(x) nguyên và m chia hết cho B(x) với m là một số.
3. Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn một giá trị cho trước
Phân thức (B(x)0)
4. Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất
Cho phân thức (B(x)0)
+ M là giá trị lớn nhất của phân thức nếu với mọithỏa mãn điều kiện
Tồn tại sao cho .
+ m là giá trị nhỏ nhất của phân thức nếu với mọi thỏa mãn điều kiện
Tồn tại sao cho .
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm x để phân thức nhận giá trị âm, giá trị dương
Phương pháp giải:
Ta có:
Xét phân thức (B)
*
*
*
*
Ví dụ 1: Tìm x để phân thức sau
a) < 0
b)
c)
Lời giải:
a)
(vô lí)
Vậy thì .
b)
(vô lí)
Vậy thì .
c)
(vô lí)
Vậy khi .
Ví dụ 2: Chứng minh
a) luôn dương với mọi x.
b) luôn âm với mọi x.
Lời giải:
a)
Ta có:
( Vì 0) (1)
(Vì 0) (2)
Từ (1) và (2) ta có mẫu thức và tử thức luôn dương nên P luôn dương.
b)
Ta có:
( vì 0)
(vì 0).
Vì mẫu thức luôn dương và tử thức luôn âm với mọi x nên Q < 0.
Dạng 2: Tìm x nguyên để phân thức là một số nguyên
Phương pháp giải: Phân thức
Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được
Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên
Bước 2: Để nguyên thì nguyên hay B(x)Ư(m)
Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận
Ví dụ 1: Tìm x nguyên để các phân thức sau đây nguyên
a)
b)
c)
Lời giải:
a) Với
nguyên khi và chỉ khi hay Ư(4)
Ư(4) = và x nguyên nên ta có bảng sau:
2x - 3 |
-4 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
4 |
2x |
-1 |
1 |
2 |
4 |
5 |
7 |
x |
(ktm) |
(ktm) |
1 (tm) |
2 (tm) |
(ktm) |
(ktm) |
Vậy thì A nguyên.
b) Với x
Để B nguyên thì hay nguyên.
hay Ư(13)
Ư(13) =
x + 3 |
-13 |
-1 |
1 |
13 |
x |
-16 (tm) |
-4 (tm) |
-2 (tm) |
10 (tm) |
Vậy thì B nguyên.
c)
(với x3)
Để C nguyên thì nguyên hay nguyên (do x nguyên nên x + 2 cũng nguyên)
nguyên khi và chỉ khi hay Ư(8)
Ư(8) =
x-3 |
-8 |
-4 |
-2 |
-1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
x |
-5 (tm) |
-1 (tm) |
1 (tm) |
2 (tm) |
4 (tm) |
5 (tm) |
7 (tm) |
11 (tm) |
Vậy thì C nguyên.
Ví dụ 2: Cho biểu thức
với
a) Rút gọn A.
b) Tìm a nguyên để A nguyên,
Lời giải:
a)
.
b) Ta có:
Để A nguyên thì nguyên hay
Ư(5)
Ư(5) =
a - 4 |
-5 |
-1 |
1 |
5 |
a |
-1 (tm) |
3 (tm) |
5 (tm) |
9 (tm) |
Vậy để A nguyên thì .
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước
Phương pháp giải: Giả sử tìm x để phân thức = m (với m là một giá trị cho trước)
Bước 1: Tìm điều kiện để .
Bước 2: Giải A(x) = m.B(x) để tìm x.
Bước 3: So sánh với điều kiện rồi kết luận.
Ví dụ 1:
a) Cho A = . Tìm x để A = 4.
b) Cho B = . Tìm x để B = .
Lời giải:
a) Điều kiện:
A = 4
Vậy để A = 4 thì .
b) Điều kiện:
B =
Vậy để B = thì x = -2 hoặc x = .
Ví dụ 2: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của P.
b) Rút gọn P.
c) Tìm x để P = .
d) Tìm x để P = 1.
Lời giải:
a) P có nghĩa
Vậy để P có nghĩa thì và .
b)
c) Để P =
Vậy để P = thì x=2 hoặc x=3.
d) Để P = 1
(vô lí)
Ta có: với mọi x thỏa mãn điều kiện.
Vậy không tồn tại x để P = 1.
Dạng 4: Tìm x để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Cho phân thức (B(x)0)
Bước 1: Đánh giá giá trị lớn nhất nhỏ nhất của A(x) và B(x)
Bước 2: Đánh giá gá trị lớn nhất nhỏ nhất của .
Chú ý : Nếu ; a, b cùng dấu thì
Ví dụ:
a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:
Lời giải:
a) Ta có:
Vì với mọi x nên
Phân thức xác định với mọi x
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0x = 2
Vậy Amax = khi x = 2.
b)
Vì nên
Phân thức xác định với mọi x
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy Bmin = khi x = -4.
c) Vì nên
Phân thức xác định với mọi x
Vì
Dấu “=” xảy ra khi x + 2 = 0x = -2
Vậy Cmin = khi x = -2.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm x để các phân thức sau thỏa mãn:
a) . Tìm x để A > 0
b) . Tìm x để
c) . Tìm x để C < 0
d) . Tìm x để .
Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đây nguyên
a) với
b) với
c) với
d) với .
Bài 3: Cho phân thức
a) Tìm điều kiện xác định của Q
b) Tìm x khi Q = 1.
Bài 4: Cho phân thức
Tìm x để A < 0.
Bài 5: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện.
Bài 6: Tìm x nguyên để phân thức nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Chứng minh rằng:
Với .
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức .
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức .
Bài 10: Cho biểu thức với
Tìm giá trị lớn nhất của Q.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập
- Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập
- Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập
- Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều