Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập

I. Lý thuyết

1. Phân thức nhận giá trị  âm, phân thức nhận giá trị dương

Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}>0$ khi A(x); B(x) cùng dấu

Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}<0$ khi A(x); B(x) trái dấu

2. Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nguyên

$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=C\left(x\right)+\frac{m}{B\left(x\right)}$ (B(x)$\ne$0)

Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ chỉ nguyên khi C(x) nguyên và m chia hết cho B(x) với m là một số.

3. Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn một giá trị cho trước

Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=m$ (B(x)$\ne$0)

$\Rightarrow A\left(x\right)=m.B\left(x\right)$

4. Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ (B(x)$\ne$0)

+ M là giá trị lớn nhất của phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ nếu $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\le M$ với mọithỏa mãn điều kiện

Tồn tại $x_0$ sao cho $\frac{A\left(x_0\right)}{B\left(x_0\right)}=M$.

+ m là giá trị nhỏ nhất của phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ nếu $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\ge m$ với mọi thỏa mãn điều kiện

Tồn tại $x_0$ sao cho $\frac{A\left(x_0\right)}{B\left(x_0\right)}=m$.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm x để phân thức nhận giá trị âm, giá trị dương

Phương pháp giải:

Ta có:

Xét phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ (B$\ne 0$)

*$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}<0$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)>0\\ B\left(x\right)<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)<0\\ B\left(x\right)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$

*$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}>0$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)>0\\ B\left(x\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)<0\\ B\left(x\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

*$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\le 0$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)\le 0\\ B\left(x\right)>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)\ge 0\\ B\left(x\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.$

*$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\ge 0$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)\le 0\\ B\left(x\right)<0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}A\left(x\right)\ge 0\\ B\left(x\right)>0\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức sau

a) $\frac{x+3}{x-1}$< 0

b) $\frac{2x+4}{x-3}\le 0$

c) $\frac{-2x+3}{x+5}>0$

Lời giải:

a) $\frac{x+3}{x-1}<0$

$TH1:\left\{\begin{array}{l}x+3<0\\ x-1>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x<-3\\ x>1\end{array}\right.$ (vô lí)

$TH2:\left\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x-1<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>-3\\ x<1\end{array}\right.\Rightarrow -3<x<1$

Vậy $\frac{x+3}{x-1}<0$ thì $-3<x<1$.

b) $\frac{2x+4}{x-3}\le 0$

$TH1:\left\{\begin{array}{l}2x+4\le 0\\ x-3>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\le -4\\ x>3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\le -2\\ x>3\end{array}\right.$ (vô lí)

$TH2:\left\{\begin{array}{l}2x+4\ge 0\\ x-3<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ge -4\\ x<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x<3\end{array}\right.$$\Rightarrow -2\le x<3$

Vậy $\frac{2x+4}{x-3}\le 0$ thì $-2\le x<3$.

c) $\frac{-2x+3}{x+5}>0$

$TH1:$$\left\{\begin{array}{l}-2x+3>0\\ x+5>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2x>-3\\ x>-5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x<\frac{3}{2}\\ x>-5\end{array}\right.\Rightarrow -5<x<\frac{3}{2}$

$TH2:\left\{\begin{array}{l}-2x+3<0\\ x+5<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2x<-3\\ x<-5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{3}{2}\\ x<-5\end{array}\right.$(vô lí)

Vậy $\frac{-2x+3}{x+5}>0$ khi $-5<x<\frac{3}{2}$.

Ví dụ 2: Chứng minh

a) $P=\frac{x^2+2x+5}{x^2-4x+6}$ luôn dương với mọi x$\in ℝ$.

b) $Q=\frac{-x^2+2x-5}{2x^2-20x+60}$ luôn âm với mọi x$\in ℝ$.

Lời giải:

a) $P=\frac{x^2+2x+5}{x^2-4x+6}$

Ta có:

$x^2+2x+5=x^2+2x+1+4$$={\left(x+1\right)}^2+4\ge 4>0$ ( Vì ${\left(x+1\right)}^2$$\ge$0)   (1)

$x^2-4x+6=x^2-4x+4+2$$={\left(x-2\right)}^2+2\ge 2>0$ (Vì ${\left(x-2\right)}^2$$\ge$ 0)  (2)

Từ (1) và (2) ta có mẫu thức và tử thức luôn dương nên P luôn dương.

b) $Q=\frac{-x^2+2x-5}{2x^2-20x+60}$

Ta có:

$-x^2+2x-5=-\left(x^2-2x+5\right)$$=-\left(x^2-2x+1+4\right)$

$=-\left[{\left(x-1\right)}^2+4\right]=-{\left(x-1\right)}^2-4\le -4<0$( vì $-{\left(x-1\right)}^2$$\le$0)

$2x^2-20x+60=2\left(x^2-10x+30\right)$$=2\left(x^2-10x+25+5\right)$

$=2\left[{\left(x+5\right)}^2+5\right]$$=2{\left(x+5\right)}^2+10\ge 10>0$ (vì ${\left(x+5\right)}^2$$\ge$0).

Vì mẫu thức luôn dương và tử thức luôn âm với mọi x nên Q < 0.

Dạng 2: Tìm x nguyên để phân thức là một số nguyên

Phương pháp giải: Phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$

Bước 1: Chia A(x) cho B(x). Khi đó ta được $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=C\left(x\right)+\frac{m}{B\left(x\right)}$

Với C(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên, m là số nguyên

Bước 2: Để $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ nguyên thì $\frac{m}{B\left(x\right)}$ nguyên hay B(x)$\in$Ư(m)

Bước 3: Tìm các giá trị x thỏa mãn và kết luận

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để các phân thức sau đây nguyên

a) $A=\frac{4}{2x-3}$

b) $B=\frac{4x-1}{x+3}$

c) $C=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

Lời giải:

a) Với $x\ne \frac{3}{2}$

$A=\frac{4}{2x-3}$ nguyên khi và chỉ khi $4⋮\left(2x-3\right)$ hay $\left(2x-3\right)$$\in$Ư(4) 

Ư(4) = $\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4\right\}$ và x nguyên nên ta có bảng sau:

2x - 3	-4	-2	-1	1	2	4
2x	-1	1	2	4	5	7
x	$\frac{-1}{2}$(ktm)	$\frac{1}{2}$(ktm)	1 (tm)	2 (tm)	$\frac{5}{2}$(ktm)	$\frac{7}{2}$(ktm)

Vậy $x\in \left\{1;2\right\}$ thì A nguyên.

b) Với x $\ne -3$

$B=\frac{4x-1}{x+3}$$=\frac{4x+12-13}{x+3}=\frac{4\left(x+3\right)-13}{x+3}=\frac{4\left(x+3\right)}{x+3}-\frac{13}{x+3}$$=4-\frac{13}{x+3}$

Để B nguyên thì $4-\frac{13}{x+3}$ hay $\frac{13}{x+3}$ nguyên.

$\Rightarrow 13⋮\left(x+3\right)$ hay $\left(x+3\right)\in$Ư(13)

Ư(13) = $\left\{\pm 1;\pm 13\right\}$

x + 3	-13	-1	1	13
x	-16 (tm)	-4 (tm)	-2 (tm)	10 (tm)

Vậy $x\in \left\{-16;-4;-2;10\right\}$ thì B nguyên.

c) $C=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

$=\frac{x^2-3x+2x-6+8}{x-3}=\frac{x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)+8}{x-3}$

$=\frac{x\left(x-3\right)}{x-3}+\frac{2\left(x-3\right)}{x-3}+\frac{8}{x-3}$

$=x+2+\frac{8}{x-3}$ (với x$\ne$3)

Để C nguyên thì $x+2+\frac{8}{x-3}$ nguyên hay $\frac{8}{x-3}$ nguyên (do x nguyên nên x + 2 cũng nguyên)

$\frac{8}{x-3}$ nguyên khi và chỉ khi $8⋮\left(x-3\right)$ hay $\left(x-3\right)\in$Ư(8)

Ư(8) = $\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8\right\}$

x-3	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
x	-5 (tm)	-1 (tm)	1 (tm)	2 (tm)	4 (tm)	5 (tm)	7 (tm)	11 (tm)

Vậy $x\in \left\{-5;-1;1;2;4;5;7;11\right\}$ thì C nguyên.

Ví dụ 2: Cho biểu thức

$A=\left(\frac{2}{a^2-5a+4}+\frac{3}{a^2-16}\right):\frac{5}{a^2+3a-4}$ với $a\ne 1;a\ne \pm 4$

a) Rút gọn A.

b) Tìm a nguyên để A nguyên,

Lời giải:

a) $A=\left(\frac{2}{a^2-5a+4}+\frac{3}{a^2-16}\right):\frac{5}{a^2+3a-4}$

$\iff A=\left(\frac{2}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)}+\frac{3}{\left(a-4\right)\left(a+4\right)}\right):\frac{5}{\left(a+4\right)\left(a-1\right)}$

$\iff A=\left(\frac{2\left(a+4\right)}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}+\frac{3\left(a-1\right)}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}\right):\frac{5}{\left(a+4\right)\left(a-1\right)}$

$\iff A=\left(\frac{2a+8}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}+\frac{3a-3}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}\right):\frac{5}{\left(a+4\right)\left(a-1\right)}$

$\iff A=\left(\frac{2a+8+3a-3}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}\right):\frac{5}{\left(a+4\right)\left(a-1\right)}$

$\iff A=\frac{5a+5}{\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}.\frac{\left(a+4\right)\left(a-1\right)}{5}$

$\iff A=\frac{5\left(a+1\right)\left(a+4\right)\left(a-1\right)}{5\left(a-4\right)\left(a-1\right)\left(a+4\right)}$

$\iff A=\frac{a+1}{a-4}$.

b) Ta có: $A=\frac{a+1}{a-4}=\frac{a-4+5}{a-4}=\frac{a-4}{a-4}+\frac{5}{a-4}=1+\frac{5}{a-4}$

Để A nguyên thì $\frac{5}{a-4}$ nguyên hay $5⋮\left(a-4\right)$

$\Rightarrow \left(a-4\right)\in$Ư(5)

Ư(5) = $\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$

a - 4	-5	-1	1	5
a	-1 (tm)	3 (tm)	5 (tm)	9 (tm)

Vậy để A nguyên thì $a\in \left\{-1;3;5;9\right\}$.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức đạt giá trị cho trước

Phương pháp giải: Giả sử tìm x để phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$= m (với m là một giá trị cho trước)

Bước 1: Tìm điều kiện để $B\left(x\right)\ne 0$.

Bước 2: Giải A(x) = m.B(x) để tìm x.

Bước 3: So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Ví dụ 1:

a) Cho A = $\frac{3x-3}{4x+1}$. Tìm x để A = 4.

b) Cho B = $\frac{x^2+x+2}{x-3}$. Tìm x để B = $\frac{-4}{5}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x\ne \frac{-1}{4}$

 A = 4 $\iff \frac{3x-3}{4x+1}=4$

$\Rightarrow 3x-3=4\left(4x+1\right)$

$\iff 3x-3=16x+4$

$\iff 16x-3x=-3-4$

$\iff 13x=-7$

$\iff x=\frac{-7}{13}$

Vậy để A = 4 thì $x=\frac{-7}{13}$.

b) Điều kiện: $x\ne 3$

B = $\frac{-4}{5}$$\iff \frac{x^2+x+2}{x-3}=\frac{-4}{5}$

$\Rightarrow 5\left(x^2+x+2\right)=-4\left(x-3\right)$

$\iff 5x^2+5x+10=-4x+12$

$\iff 5x^2+5x+4x+10-12=0$

$\iff 5x^2+9x-2=0$

$\iff 5x^2+10x-x-2=0$

$\iff 5x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)=0$

$\iff \left(x+2\right)\left(5x-1\right)=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x+2=0\\ 5x-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\text{ (tm)}\\ x=\frac{1}{5}\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy để B =$\frac{-4}{5}$ thì x = -2 hoặc x = $\frac{1}{5}$.

Ví dụ 2: Cho biểu thức $P=\frac{x^2+2x}{2x+12}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

a) Tìm điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn P.

c) Tìm x để P = $\frac{3}{2}$.

d) Tìm x để P = 1.

Lời giải:

a) P có nghĩa $\iff \left\{\begin{array}{l}2x+12\ne 0\\ x\ne 0\\ 2x\left(x+6\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne -12\\ x\ne 0\\ x\ne 0;x\ne -6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -6\end{array}\right.$

Vậy để P có nghĩa thì $x\ne 0$ và $x\ne -6$.

b) $P=\frac{x^2+2x}{2x+12}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^2+2x}{2\left(x+6\right)}+\frac{x-6}{x}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x\left(x^2+2x\right)}{2x\left(x+6\right)}+\frac{\left(x-6\right).2\left(x+6\right)}{2x\left(x+6\right)}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+2x^2}{2x\left(x+6\right)}+\frac{2x^2-72}{2x\left(x+6\right)}+\frac{108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x^3+2x^2\right)+\left(2x^2-72\right)+\left(108-6x\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+2x^2+2x^2-72+108-6x}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+4x^2-6x+36}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^3+216+4x^2-6x+36-216}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x^3+216\right)+\left(4x^2-6x-180\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-6x+36\right)+\left(x+6\right)\left(4x-30\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left[\left(x^2-6x+36\right)+\left(4x-30\right)\right]}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-6x+36+4x-30\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{\left(x+6\right)\left(x^2-2x+6\right)}{2x\left(x+6\right)}$

$\iff P=\frac{x^2-2x+6}{2x}$

c) Để P =$\frac{3}{2}$$\Rightarrow \frac{x^2-2x+6}{2x}=\frac{3}{2}$

$\iff 2\left(x^2-2x+6\right)=2x.3$

$\iff 2x^2-4x+12=6x$

$\iff 2x^2-4x+12-6x=0$

$\iff 2x^2-10x+12=0$

$\iff 2\left(x^2-5x+6\right)=0$

$\iff 2\left(x^2-2x-3x+6\right)=0$

$\iff 2\left[x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)\right]=0$

$\iff 2\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-3=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\text{ (tm)}\\ x=3\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy để P = $\frac{3}{2}$ thì x=2 hoặc x=3.

d) Để P = 1

$\Rightarrow \frac{x^2-2x+6}{2x}=1$

$\iff x^2-2x+6=2x$

$\iff x^2-2x-2x+6=0$

$\iff x^2-4x+6=0$

$\iff x^2-4x+4+2=0$

$\iff {\left(x-2\right)}^2+2=0$ (vô lí)

Ta có: ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$$\Rightarrow {\left(x-2\right)}^2+2\ge 2>0$ với mọi x thỏa mãn điều kiện.

Vậy không tồn tại x để P = 1.

Dạng 4: Tìm x để phân thức đạt giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Cho phân thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ (B(x)$\ne$0)

Bước 1: Đánh giá giá trị lớn nhất nhỏ nhất của A(x) và B(x)

Bước 2: Đánh giá gá trị lớn nhất nhỏ nhất của $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$.

Chú ý : Nếu $a,b\ne 0$; a, b cùng dấu thì $a\ge b\iff \frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau:

$A=\frac{2x^2-8x+15}{x^2-4x+6}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

$B=\frac{-5}{x^2+8x+20}$

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau:

$C=\frac{2x+1}{x^2+2}$

Lời giải:

a) Ta có:

$x^2-4x+6=x^2-4x+4+2={\left(x-2\right)}^2+2$

Vì ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$ với mọi x nên ${\left(x-2\right)}^2+2\ge 2$

Phân thức xác định với mọi x

$A=\frac{2x^2-8x+15}{x^2-4x+6}$

$\iff A=\frac{2\left(x^2-4x+6\right)+3}{x^2-4x+6}$

$\iff A=\frac{2\left(x^2-4x+6\right)}{x^2-4x+6}+\frac{3}{x^2-4x+6}$

$\iff A=2+\frac{3}{x^2-4x+6}$

$\iff A=2+\frac{3}{x^2-4x+4+2}$

$\iff A=2+\frac{3}{{\left(x-2\right)}^2+2}$

Ta có:

${\left(x-2\right)}^2\ge 0$

$\iff {\left(x-2\right)}^2+2\ge 2$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(x-2\right)}^2+2}\le \frac{1}{2}$

$\iff \frac{3}{{\left(x-2\right)}^2+2}\le \frac{3}{2}$

$\Rightarrow A=2+\frac{3}{{\left(x-2\right)}^2+2}\le 2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0$\Rightarrow$x = 2

Vậy Amax = $\frac{7}{2}$ khi x = 2.

b) $x^2+8x+20=x^2+8x+16+4={\left(x+4\right)}^2+4$

Vì ${\left(x+4\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+4\right)}^2+4\ge 4$

Phân thức xác định với mọi x

$B=\frac{-5}{x^2+8x+20}=\frac{-5}{x^2+2.x.4+16+4}$$=\frac{-5}{{\left(x+4\right)}^2+4}$

Ta có:

${\left(x+4\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow {\left(x+4\right)}^2+4\ge 4$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(x+4\right)}^2+4}\le \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{-5}{{\left(x+4\right)}^2+4}\ge \frac{-5}{4}$

$\iff B\ge \frac{-5}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $x+4=0$$\iff x=-4$

Vậy Bmin =$\frac{-5}{4}$ khi x = -4.

c) Vì $x^2\ge 0$ nên $x^2+2\ge 2$

Phân thức xác định với mọi x

$C=\frac{2x+1}{x^2+2}$$=\frac{4x+2}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{\left(x^2+4x+4\right)-\left(x^2+2\right)}{2\left(x^2+2\right)}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{2\left(x^2+2\right)}-\frac{\left(x^2+2\right)}{2\left(x^2+2\right)}=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{2\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{2}$

Vì $x^2\ge 0\Rightarrow x^2+2>0$

${\left(x+2\right)}^2\ge 0$

$\Rightarrow \frac{{\left(x+2\right)}^2}{2\left(x^2+2\right)}\ge 0$

$\Rightarrow C=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{2\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{2}\ge 0-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow C\ge \frac{-1}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x + 2 = 0$\Rightarrow$x = -2

Vậy Cmin =$\frac{-1}{2}$ khi x = -2.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm x để các phân thức sau thỏa mãn:

a) $A=\frac{x+2}{x^2+1}$. Tìm x để A > 0

b) $B=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$. Tìm x để $B\le 0$

c) $C=\frac{2x^2+7x+6}{x^2-4x+6}$. Tìm x để C < 0

d) $D=\frac{x^2+3x+2}{x^2+5}$. Tìm x để $D\ge 0$.

Bài 2: Tìm x nguyên để các biểu thức sau đây nguyên

a) $\frac{2}{x+5}$ với $x\ne -5$

b) $\frac{3x^2-2x+1}{3x+1}$ với $x\ne \frac{-1}{3}$

c) $\frac{2x^3-4x^2+11x-7}{x-4}$ với $x\ne 4$

d) $\frac{5x-10}{x^2-3x+2}$ với $x\ne 2;x\ne 1$.

Bài 3: Cho phân thức $Q=\frac{x^2+10x+25}{x+5}$

a) Tìm điều kiện xác định của Q

b) Tìm x khi Q = 1.

Bài 4: Cho phân thức $A=\frac{x^2-x+2}{x-5}$

Tìm x để A < 0.

Bài 5: Cho biểu thức $A=\frac{x+2}{x-1}.\left(\frac{x^3}{x+1}+2\right)-\frac{8x+7}{x^2-1}$

a) Tìm điều kiện xác định của A.

b) Chứng minh rằng A luôn dương với mọi x thỏa mãn điều kiện.

Bài 6: Tìm x nguyên để phân thức $N=\frac{x^2-x}{x-3}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 7: Chứng minh rằng: $M=\frac{3x}{x-3}-\frac{x^2+3x}{2x+3}\left(\frac{3x+9}{x^2-3x}-\frac{3x}{x^2-9}\right)>0$

Với $x\ne 0;x\ne \pm 3;x\ne \frac{-3}{2}$.

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức $H=\frac{3x^2-2x+3}{x^2+1}$.

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức $M=\frac{-6}{x^2+x+1}$.

Bài 10: Cho biểu thức $Q=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}.\left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+10x+4}{x}$ với $x\ne 0;x\ne -2$

Tìm giá trị lớn nhất của Q.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập
• Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập
• Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập
• Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---

---

---