Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Bài viết Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
1. Khái niệm về phương trình một ẩn
- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng: A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.
2. Các khái niệm liên quan
- Giá trị được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức đúng.
- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
- Tập nghiệm của phương trình là tập chứa tất cả các giá trị nghiệm của phương trình.
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Ta quy định hai phương trình vô nghiệm là tương đương nhau.
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Xét xem một số cho trước có phải là nghiệm của phương trình hay không.
Phương pháp giải: Để xem số thực có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay không, ta thay vào phương trình để kiểm tra.
- Nếu đúng, ta nói là nghiệm của phương trình đã cho.
- Nếu không đúng, ta nói không là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 1: Hãy xét xem số 1 có phải là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không?
a) x – 2 = 1 – 2x
b) x – 1 = 5(x + 1) + 2x + 1.
Lời giải:
a) Thay x = 1 vào phương trình ta được:
1 – 2 = 1 – 2.1
-1 = -1 (đúng)
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình x – 2 = 1 – 2x.
b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:
1 – 1 = 5.(1 + 1) + 2.1 + 1
0 = 5.2 + 2 + 1
0 = 13 (vô lí)
Vậy x = 1 không là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Cho phương trình 2x + m = x – 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 4.
Lời giải:
Thay x = 4 vào phương trình ta có:
2.4 + m = 4 – 3
8 + m = 1
m = 1 – 8
m = -7
Vậy m = -7 thì phương trình 2x + m = x – 3 nhận x = 4 là nghiệm.
Ví dụ 3: Cho phương trình x + m = 2x + 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 3.
Lời giải:
Thay x = 3 vào phương trình ta có:
3 + m = 2.3 + 3
3 + m = 6 + 3
3 + m = 9
m = 9 – 3
m = 6
Vậy m = 6 thì phương trình x + m = 2x + 3 nhận x = 3 là nghiệm.
Dạng 2: Xác định số nghiệm của một phương trình
Phương pháp giải: Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giá trị của x thỏa mãn phương trình:
- Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm A(x)B(x) với mọi x.
- Phương trình A(x) = B(x) có nghiệm x = A() = B().
- Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm A(x) = B(x) với mọi x.
Số nghiệm của phương trình không vượt quá số bậc cao nhất của đa thức tạo nên phương trình.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm
Lời giải:
Ta có: nên
Ta thấy luôn khác 0 với mọi x
Vậy phương trình = 0 vô nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình có vô số nghiệm.
Lời giải:
Ta có: x(x + 3) – 4x + 9 = + 3x – 4x + 9 = - x + 9
Ta thấy: luôn đúng với mọi x nên phương trình này có vô số nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình .
Lời giải:
Ta có:
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm với tập nghiệm
Dạng 3: Chứng minh hai phương trình tương đương.
Phương pháp giải: Để xét sự tương đương của hai phương trình ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1: Tìm các tập nghiệm lần lượt của hai phương trình đã cho.
Bước 2:
Nếu thì ta kết luận hai phương trình đã cho tương đương.
Nếu thì ta kết luận hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 1: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vf sao?
a) x – 2 = 0 và x = 2
b) và x – 2 = 0
Lời giải:
a) Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
là tập nghiệm của phương trình
Xét phương trình x = 2. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
là tập nghiệm của phương trìnhh
Vì nên hai phương trình đã cho tương đương.
b) Xét phương trình:
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Vì nên hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 2: Cho hai phương trình:
a) Chứng minh là nghiệm của phương trình (1) và (2)?
b) Chứng minh x = - 5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1)?
c) Hai phương trình trên có tương đương không? Vì sao?
Lời giải:
a) Thay vào phương trình (1) ta có:
(đúng)
Vậy là nghiệm của phương trình (1).
Thay vào phương trình (2) ta có:
(đúng)
Vậy là nghiệm của phương trình (2).
Do đó là nghiệm chung của hai phương trình.
b) Thay x = - 5 vào phương trình (2) ta có:
(đúng)
Vậy x = -5 là nghiệm của phương trình (2).
Thay x = -5 vào phương trình (1) ta có:
(vô lí)
Do đó x = -5 không phải nghiệm của phương trình (1).
c) Vì x = -5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1) nên tập nghiệm hai phương trình này không bằng nhau.
Do đó hai phương trình đã cho không tương đương.
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và 2mx = m + 1 tương đương.
Lời giải:
Vói phương trình x = 1
Để hai phương trình đã cho tương đương thì cũng là tập nghiệm của phương trình 2mx = m + 2
Thay x = 1 vào pương trình ta có:
2m.1 = m + 2
2m = m + 2
2m – m = 2
m = 2
Thay m = 2 vào lại phương trình ta có:
2.2x = 2 + 2
4x = 4
x = 1 (nghiệm duy nhất)
Do đó m = 2 thì hai phương trình đã cho tương đương.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Hãy xét xem 3 có là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không? Vì sao?
a) 2x + 1 = x + 2
b) 4(2x – 1) = x + 1 + 3(x – 1)
Bài 2: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?
a) và x = 5
b) 2x – 4 = 2 và x – 3 = 0.
Bài 3: Tìm m để x = 5 là nghiệm của các phương trình sau:
a) 2m + 3(x + 1) = 5
b)
Bài 4: Cho phương trình: . Chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 5: Cho phương trình . Phương trình đã cho có mấy nghiệm? Vì sao?
Bài 6: Cho hai phương trình:
a) Chứng minh là nghiệm của cả hai phương trình.
b) Chứng minh x = -1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2)
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
Bài 7: Cho phương trình x + m = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 1.
Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và tương đương.
Bài 9: Cho hai phương trình:
a) Chứng minh x = 1 là nghiệm chung của hai phương trình.
b) Chứng minh là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2).
c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?
Bài 10: Cho các phương trình:
và x = 1.
Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập
- Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập
- Diện tích hình chữ nhật và cách giải bài tập
- Diện tích tam giác và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều