Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải bài tập

A. Phương trình bậc nhất một ẩn

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0 với a, b là các hệ số và $\text{a}\ne \text{0}$.

2. Các quy tắc cơ bản

a) Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một hạng tử từ một vế của phương trình sang vế còn lại, ta phải đổi dấu của hạng tử đó:

A(x) + B(x) = C(x)$\iff$A(x) = C(x) – B(x)

b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với một số khác 0

Khi nhân hoặc chia hai vế của một phương trình với một số khác 0 ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

A(x) + B(x) = C(x)$\iff$mA(x) + mB(x) = mC(x);

A(x) + B(x) = C(x)$\iff \frac{A\left(x\right)}{m}+\frac{B\left(x\right)}{m}=\frac{C\left(x\right)}{m}$

Với $m\ne 0$

3. Cách giải phương trình bậc nhất

Ta có: ax + b = 0

$\iff ax=-b$ (quy tắc chuyển vế)

$\iff ax=-b$ (sử dụng quy tắc chia cho một số khác 0).

II. Các dạng toán

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, đâu là phương trình bậc nhất một ẩn? Chỉ ra hệ số a, b.

a) 3x – 4 = 0

b) 0.x  3 = 0

c) $\frac{x^2}{3}-1=0$

Lời giải:

a) Đây là phương trình bậc nhất một ẩn vì nó có dạng ax + b = 0 với a = 3; b = -4.

b) Đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì a = 0.

c) Đây không phải phương trình bậc nhất một ẩn vì không có dạng ax + b = 0.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn

a) $\left(m+1\right)x+3=0$

b) $\left(m^2-4\right)x+2=0$

Lời giải:

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn thì $m+1\ne 0$

$\iff m\ne -1$

Vậy $m\ne -1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.

b) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn thì

$m^2-4\ne 0$

$\iff \left(m-2\right)\left(m+2\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-2\ne 0\\ m+2\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m\ne -2\end{array}\right.\Rightarrow m\ne \pm 2$

Vậy $m\ne \pm 2$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn.

Ví dụ 3: Chứng minh phương trình $\left(m^2+1\right)x+3=0$ luôn là phương trình bậc nhất một ẩn với mọi giá trị của m.

Lời giải:

Ta có: 

$a=m^2+1$

Vì $m^2\ge 0$ với $\forall m$

$\Rightarrow m^2+1\ge 0+1$ với $\forall m$

$\iff m^2+1\ge 1$> 0 với $\forall m$

Do đó $m^2+1\ne 0$ với $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn là phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp chuyển vế hoặc nhân (chia) vói một số khác 0 để giải các phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải các phương trình sau

a) 3x – 6 = 0

b) 2x – x + 4 = 0

c) 8 – 2x = 9 – x

Lời giải:

a) 3x – 6 = 0

$\iff 3x=6$

$\iff x=6:3$

$\iff x=2$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{2\right\}$.

b) 2x – x + 4 = 0

$\iff x+4=0$

$\iff x=-4$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-4\right\}$.

c) 8 – 2x = 9 – x

$\iff -2x+x=9-8$

$\iff -x=1$

$\iff x=-1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $S=\left\{-1\right\}$.

Dạng 3: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.

Phương pháp giải: Cho phương trình ax + b = 0

+ Nếu a = 0; b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

+ Nếu a = 0; $b\ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $a\ne 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{-b}{a}$.

Ví dụ: Cho phương trình $\left(m^2-1\right)x+m-1=0$

a) Tìm m để phương trình vô nghiệm.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

c) Tìm m để phương trình có vô số nghiệm.

Lời giải:

a) Để phương trình vô nghiệm thì

$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2-1=0\\ m-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\\ m-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m-1=0\\ m+1=0\end{array}\right.\\ m\ne 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\\ m\ne 1\end{array}\right.\Rightarrow m=-1$

Vậy m = -1 thì phương trình vô nghiệm.

b) Để phương trình có nghiệm duy nhất thì $a\ne 0$$\Rightarrow$$m^2-1\ne 0$

$\iff \left(m-1\right)\left(m+1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ m+1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m\ne -1\end{array}\right.\Rightarrow m\ne \pm 1$

Vậy $m\ne \pm 1$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Để phương trình vô số nghiệm thì

$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2-1=0\\ m-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)\left(m+1\right)=0\\ m-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m-1=0\\ m+1=0\end{array}\right.\\ m-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}\right.\\ m=1\end{array}\right.\Rightarrow m=1$

Vậy m = 1 thì phương trình có vô số nghiệm.

B. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

I. Lý thuyết

- Sử dụng quy tắc chuyển vế, nhân hoặc chia với một số khác 0 để đưa phương trình đã cho về dạng ax + b = 0.

Chú ý: Ta sử dụng một số công thức sau

- Các quy tắc về hằng đẳng thức đáng nhớ.

- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Các quy tắc về đổi dấu.

Dạng 1: Sử dụng các cách biến đổi thường gặp để giải một số phương trình đơn giản

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện các quy tắc về chuyển vế, nhân, chia, hằng đẳng thức, quy đồng mẫu để đưa phương trình về dạng ax + b = 0.

Bước 2: Giải phương trình ax + b = 0.

Chú ý:

$\left|a\right|=\left\{\begin{array}{l}a\text{\hspace{0.17em} khi a}\ge \text{0}\\ -a\text{ khi a < 0}\end{array}\right.$

$\left|A\right|=\left|B\right|\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A=B\\ A=-B\end{array}\right.$

$\left|A\right|+\left|B\right|=0\iff \left\{\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}\right.$

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) ${\left(1-x\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2=2x\left(x-3\right)-7$

b) ${\left(1+x\right)}^3+{\left(1-x\right)}^3=6{\left(x+1\right)}^2$

Lời giải:

a) ${\left(1-x\right)}^2+{\left(x+2\right)}^2=2x\left(x-3\right)-7$

$\iff 1-2x+x^2+x^2+4x+4=2x^2-6x-7$

$\iff 1-2x+x^2+x^2+4x+4-2x^2+6x+7=0$

$\iff \left(x^2+x^2-2x^2\right)+\left(-2x+4x+6x\right)+\left(1+4+7\right)=0$

$\iff 8x+12=0$

$\iff 8x=0-12$

$\iff 8x=-12$

$\iff x=-12:8$

$\iff x=\frac{-3}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{\frac{-3}{2}\right\}$.

b) $\frac{7x-1}{6}+2x=\frac{16-x}{5}$

$\iff \frac{5.\left(7x-1\right)}{30}+\frac{30.2x}{30}=\frac{6.\left(16-x\right)}{30}$

$\iff \frac{35x-5}{30}+\frac{60x}{30}-\frac{96-6x}{30}=0$

$\iff \frac{\left(35x-5\right)+60x-\left(96-6x\right)}{30}=0$

$\iff 35x-5+60x-96+6x=0$

$\iff \left(35x+60x+6x\right)-\left(5+96\right)=0$

$\iff 101x-101=0$

$\iff 101x=0+101$

$\iff 101x=101$

$\iff x=101:101$

$\iff x=1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $S=\left\{1\right\}$.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

a) $\left|2x+2\right|=6$

b) $\left|3x+2\right|=\left|4x-3\right|$

Lời giải:

a) $\left|2x+2\right|=6$

Trường hợp 1:

2x + 2 = 6

$\iff 2x=6-2$

$\iff 2x=4$

$\iff x=4:2$

$\iff x=2$

Trường hợp 2:

2x + 2 = -6

$\iff 2x=-6-2$

$\iff 2x=-8$

$\iff x=-8:2$

$\iff x=-4$

Vậy phương trình đã cho có tậ nghiệm $S=\left\{-4;2\right\}$.

b) $\left|3x+2\right|=\left|4x-3\right|$

Trường hợp 1:

3x + 2 = 4x – 3

$\iff$3x – 4x = -3 – 2

$\iff$-x = -5

$\iff$x = 5

Trường hợp 2:

3x + 2 = -(4x – 3)

$\iff$3x + 2 = -4x + 3

$\iff$3x + 4x = 3 – 2

$\iff$7x = 1

$\iff x=\frac{1}{7}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{1}{7};5\right\}$.

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

$\frac{x+81}{19}+\frac{x+82}{18}=\frac{x+84}{16}+\frac{x+85}{15}$

$\iff \frac{x+81}{19}+1+\frac{x+82}{18}+1=\frac{x+84}{16}+1+\frac{x+85}{15}+1$

$\iff \frac{x+81}{19}+\frac{19}{19}+\frac{x+82}{18}+\frac{18}{18}=\frac{x+84}{16}+\frac{16}{16}+\frac{x+85}{15}+\frac{15}{15}$

$\iff \frac{x+81+19}{19}+\frac{x+82+18}{18}=\frac{x+84+16}{16}+\frac{x+85+15}{15}$

$\iff \frac{x+100}{19}+\frac{x+100}{18}=\frac{x+100}{16}+\frac{x+100}{15}$

$\iff \frac{x+100}{19}+\frac{x+100}{18}-\frac{x+100}{16}-\frac{x+100}{15}=0$

$\iff \left(x+100\right)\left(\frac{1}{19}+\frac{1}{18}-\frac{1}{16}-\frac{1}{15}\right)=0$

Vì $\left(\frac{1}{19}+\frac{1}{18}-\frac{1}{16}-\frac{1}{15}\right)\ne 0$

$\Rightarrow \left(x+100\right)\left(\frac{1}{19}+\frac{1}{18}-\frac{1}{16}-\frac{1}{15}\right)=0$$\iff x+100=0$$\iff x=-100$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{-100\right\}$.

C. Phương trình tích

I. Lý thuyết

- Phương trình A(x).B(x) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\end{array}\right.$

- Phương trình A(x).B(x)…M(x) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}A\left(x\right)=0\\ B\left(x\right)=0\\ \mathrm{...}\\ M\left(x\right)=0\end{array}\right.$

Dạng 1: Giải phương trình tích bằng các cách biến đổi thông thường như dùng hẳng đẳng thức, chuyển vế, nhân chia với một số khác 0…

Phương pháp giải:

Bước 1: Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, quy tắc chuyển vế… để biến đổi các biểu thức tạo nên phương trình thành nhân tử qua đó đưa phương trình về phương trình tích.

Bước 2: Giải phương trình tích vừa nhận được từ các phép biến đổi trên.

Ví dụ: Giải các phương trình tích sau

a) $\left(x+3\right)\left(2x-4\right)=0$

b) $\left(x-2\right)\left(x^2-3x+5\right)=x^3-2x^2$

c) ${\left(2x-1\right)}^2+\left(x-3\right)\left(2x-1\right)=0$

d) $4x^2+8x-5=0$

Lời giải:

a) $\left(x+3\right)\left(2x-4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+3=0\\ 2x-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0-3\\ 2x=0+4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ 2x=4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=4:2\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là $S=\left\{-3;2\right\}$.

b) $\left(x-2\right)\left(x^2-3x+5\right)=x^3-2x^2$

$\iff \left(x-2\right)\left(x^2-3x+5\right)=x^2\left(x-2\right)$

$\iff \left(x-2\right)\left(x^2-3x+5\right)-x^2\left(x-2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left[\left(x^2-3x+5\right)-x^2\right]=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x^2-3x+5-x^2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(5-3x\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ 5-3x=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0+2\\ -3x=0-5\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ -3x=-5\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=(-5):(-3)\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S=\left\{2;\frac{5}{3}\right\}$.

c) ${\left(2x-1\right)}^2+\left(x-3\right)\left(2x-1\right)=0$

$\iff \left(2x-1\right)\left[\left(2x-1\right)+\left(x-3\right)\right]=0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(2x-1+x-3\right)=0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(3x-4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ 3x-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=1\\ 3x=4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1:2\\ x=4:3\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{1}{2};\frac{4}{3}\right\}$.

d) $4x^2+8x-5=0$

$\iff 4x^2-2x+10x-5=0$

$\iff 2x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)=0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(2x+5\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x-1=0\\ 2x+5=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=1\\ 2x=-5\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{-5}{2}\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{\frac{1}{2};\frac{-5}{2}\right\}$.

Dạng 2: Giải phương trình tích bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt ẩn phụ (căn cứ vào bài toán để chọn ẩn phụ phù hợp)

Bước 2: Sử dụng các quy tắc biến đổi để đưa phương trình mới về phương trình với ẩn phụ.

Bước 3: Giải phương trình ẩn phụ rồi trả lại biến ban đầu

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Giải phương trình ${\left(x^2-x\right)}^2-4\left(x^2-x\right)+4=0$.

Lời giải:

Đặt $x^2-x=t$, khi đó phương trình trở thành

$t^2-4t+4=0$

$\iff {\left(t-2\right)}^2=0$

$\iff t-2=0$

$\iff t=2$

$\Rightarrow x^2-x=2$

$\iff x^2-x-2=0$

$\iff x^2-2x+x-2=0$

$\iff x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left\{2;-1\right\}$.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)=3$.

Lời giải:

$\left(x^2+2x+3\right)\left(x^2+2x+1\right)=3$

Đặt $x^2+2x=t$, khi đó phương trình trở thành

$\left(t+3\right)\left(t+1\right)=3$

$\iff t^2+3t+t+3=3$

$\iff t^2+4t+3-3=0$

$\iff t^2+4t=0$

$\iff t\left(t+4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t+4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=-4\end{array}\right.$

+ Với $t=0\Rightarrow x^2+2x=0$

$\iff x\left(x+2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x+2=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

+ Với $t=-4\Rightarrow x^2+2x=-4$

$\iff x^2+2x+4=0$

$\iff x^2+2x+1+3=0$

$\iff {\left(x+1\right)}^2+3=0$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$$\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+3\ge 0+3$

$\iff {\left(x+1\right)}^2+3\ge 3\forall \text{x}$

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là $S=\left\{-2;0\right\}$.

D. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

I. Lý thuyết

- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta cần chú ý đến điều kiện xác định của mẫu sao cho mọi mẫu thức đều khác 0.

- Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình.

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Phương pháp giải: Biểu thức $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ xác định khi và chỉ khi $B\left(x\right)\ne 0$ với A(x) và B(x) là các đa thức.

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a) $\frac{2}{x+1}-3=0$

b) $\frac{2}{2x-4}+\frac{3x}{x-2}=\frac{1}{x}$

c) $\frac{2}{x^2+5x+6}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}$

d) $\frac{2x}{x^2+2x+3}=4$

Lời giải:

a) $\frac{2}{x+1}-3=0$

Phương trình xác định $\iff x+1\ne 0$

$\iff x\ne 0-1$

$\iff x\ne -1$

Vậy $x\ne -1$ là điều kiện xác định của phương trình.

b) $\frac{2}{2x-4}+\frac{3x}{x-2}=\frac{1}{x}$

Phương trình xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4\ne 0\\ x-2\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-4\ne 0\\ x-2\ne 0\\ x\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 2\\ x\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 0\end{array}\right.$

Vậy $x\ne 2$ và $x\ne 0$ là điều kiện xác định của phương trình.

c) $\frac{2}{x^2+5x+6}=\frac{3}{x+2}+\frac{2}{x+3}$

Phương trình xác định $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+5x+6\ne 0\\ x+2\ne 0\\ x+3\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+3x+6\ne 0\\ x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\ne 0\\ x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ne 0\\ x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne -2\\ x\ne -3\end{array}\right.$

Vậy $x\ne -2$ và $x\ne -3$ là điều kiện xác định của phương trình.

d) $\frac{2x}{x^2+2x+3}=4$

Phương trình xác định $\iff x^2+x+3\ne 0$

Ta có: $x^2+2x+3=x^2+2x+1+2={\left(x+1\right)}^2+2$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0\Rightarrow {\left(x+1\right)}^2+2\ge 0+2$

$\iff {\left(x+1\right)}^2+2\ge 2>0$ với $\forall x$

Vậy phương trình đã cho xác định với mọi x.

Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta làm theo 4 bước:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình.

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{4}{2x-3}-\frac{7}{3x-5}=0$

b) $\frac{x^2+5}{25-x^2}=\frac{3}{x+5}+\frac{x}{x-5}$

c) $\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+2}=\frac{4x+5}{x^2+3x+2}$

d) $\frac{x+5}{2\left(x^2-5x\right)}+\frac{5-x}{2x^2+10x}=\frac{x-5}{2x^2-50}$

Lời giải

a) Điều kiện xác định: 

$\left\{\begin{array}{l}2x-3\ne 0\\ 3x-5\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne 3\\ 3x\ne 5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{3}{2}\\ x\ne \frac{5}{3}\end{array}\right.$

$\frac{4}{2x-3}-\frac{7}{3x-5}=0$

$\iff \frac{4\left(3x-5\right)}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}-\frac{7\left(2x-3\right)}{\left(3x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$

$\iff \frac{12x-20}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}-\frac{14x-21}{\left(3x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$

$\iff \frac{\left(12x-20\right)-\left(14x-21\right)}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}=0$

$\iff \frac{12x-20-14x+21}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}=0$

$\iff \frac{\left(12x-14x\right)+\left(-20+21\right)}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}=0$

$\iff \frac{-2x+1}{\left(2x-3\right)\left(3x-5\right)}=0$

$\iff -2x+1=0$

$\iff -2x=-1$

$\iff x=\left(-1\right):\left(-2\right)$

$\iff x=\frac{1}{2}\text{ (tm)}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{1}{2}\right\}$.

b) Điều kiện xác định

  $\left\{\begin{array}{l}25-x^2\ne 0\\ x+5\ne 0\\ x-5\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(5-x\right)\left(5+x\right)\ne 0\\ x+5\ne 0\\ x-5\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 5\\ x\ne -5\end{array}\right.$

$\frac{x^2+5}{25-x^2}=\frac{3}{x+5}+\frac{x}{x-5}$

$\iff \frac{x^2+5}{25-x^2}-\frac{3}{x+5}-\frac{x}{x-5}=0$

$\iff \frac{x^2+5}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}-\frac{3}{x+5}+\frac{x}{5-x}=0$

$\iff \frac{x^2+5}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}-\frac{3\left(5-x\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}+\frac{x\left(x+5\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff \frac{x^2+5}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}-\frac{15-3x}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}+\frac{x^2+5x}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff \frac{\left(x^2+5\right)-\left(15-3x\right)+\left(x^2+5x\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff \frac{x^2+5-15+3x+x^2+5x}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff \frac{\left(x^2+x^2\right)+\left(3x+5x\right)+\left(5-15\right)}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff \frac{2x^2+8x-10}{\left(5-x\right)\left(5+x\right)}=0$

$\iff 2x^2+8x-10=0$

$\iff 2\left(x^2+4x-5\right)=0$

$\iff x^2+4x-5=0$

$\iff x^2+5x-x-5=0$

$\iff x\left(x+5\right)-\left(x+5\right)=0$

$\iff \left(x+5\right)\left(x-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x+5=0\\ x-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-5\text{ (ktm)}\\ x=1\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $S=\left\{1\right\}$.

c) Điều kiện xác định:

$\left\{\begin{array}{l}x+1\ne 0\\ x+2\ne 0\\ x^2+3x+2\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -2\\ x^2+2x+x+2\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -2\\ x\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -2\\ \left(x+2\right)\left(x+1\right)\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ x\ne -2\end{array}\right.$

$\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+2}=\frac{4x+5}{x^2+3x+2}$

$\iff \frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+2}=\frac{4x+5}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$\iff \frac{3}{x+1}-\frac{2}{x+2}-\frac{4x+5}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{3\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{2\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x+5}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{3x+6}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{2x+2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x+5}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{\left(3x+6\right)-\left(2x+2\right)-\left(4x+5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{3x+6-2x-2-4x-5}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{\left(3x-2x-4x\right)+\left(6-2-5\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff \frac{-3x-1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=0$

$\iff -3x-1=0$

$\iff -3x=1$

$\iff x=1:(-3)$

$\iff x=\frac{-1}{3}\text{ (tm)}$

Vậy nghiệm của phương trình là $S=\left\{\frac{-1}{3}\right\}$.

d) Điều kiện xác định

  $\left\{\begin{array}{l}2\left(x^2-5x\right)\ne 0\\ 2x^2+10x\ne 0\\ 2x^2-50\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\left(x-5\right)\ne 0\\ 2x\left(x+5\right)\ne 0\\ 2\left(x^2-25\right)\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \pm 5\end{array}\right.$

$\frac{x+5}{2\left(x^2-5x\right)}+\frac{5-x}{2x^2+10x}=\frac{x-5}{2x^2-50}$

$\iff \frac{x+5}{2x\left(x-5\right)}+\frac{5-x}{2x\left(x+5\right)}=\frac{x-5}{2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$

$\iff \frac{{\left(x+5\right)}^2}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}+\frac{\left(5-x\right)\left(x-5\right)}{2x\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=\frac{x\left(x-5\right)}{2x\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$

$\iff \frac{x^2+10x+25}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}+\frac{-x^2+10x-25}{2x\left(x+5\right)\left(x-5\right)}-\frac{x^2-5x}{2\left(x+5\right)\left(x-5\right)}=0$

$\iff \frac{\left(x^2+10x+25\right)+\left(-x^2+10x-25\right)-\left(x^2-5x\right)}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0$

$\iff \frac{x^2+10x+25-x^2+10x-25-x^2+5x}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0$

$\iff \frac{\left(x^2-x^2-x^2\right)+\left(10x+10x+5x\right)+\left(25-25\right)}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0$

$\iff \frac{-x^2+25x}{2x\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=0$

$\iff -x^2+25x=0$

$\iff -x\left(x-25\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-25=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\text{ (ktm)}\\ x=25\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm cảu phương trình là $S=\left\{25\right\}$.

E. Bài tập tự luyện

Bài 1: Xét xem các phương trình sau đây có phải phương trình bậc nhất không? Vì sao?

a) $3x-5=4$

b) $\frac{x+1}{3}+\frac{2}{3}=0$

c) $\left(x^2-3x\right).2-6x=0$

d) $\frac{x+1}{x}-5=0$

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau là phương trình bậc nhất một ẩn.

a) $\left(m+2\right)x=4$

b) $\frac{2m+1}{m-2}x-3=0$

c) $\left(m^2-4\right)x^2+3x+2=0$

d) $\left(3m-5\right)x^2+mx+5=0$

Với m là tham số.

Bài 3: Chứng minh các phương trình sau luôn là phương trình bậc nhất một ẩn.

a) $\left(m^2+4\right)x-6=0$

b) $\left(m^2-m+1\right)x+3=0$

Với m là tham số.

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) $x+3=3x+5$

b) $x-2=6$

c) $2x-1=4x+3$

d) $3x-3=3\left(x+1\right)$

e) ${\left(x+1\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=2x\left(x+1\right)-6$

f) ${\left(x+2\right)}^2-{\left(x-3\right)}^2=6$

g) ${\left(1+x\right)}^3-{\left(x-2\right)}^3=9{\left(x-1\right)}^2$

h) ${\left(1+x\right)}^3-{\left(1-x\right)}^3=6{\left(x+1\right)}^2$.

Bài 5: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình $\left(m^2+8m+15\right)x+m+3=0$.

Bài 6: Cho biểu thức $A=2x^2\left(m-1\right)-x\left(m-1\right)\left(2x-1\right)+x+m$ với m là tham số.

a) Rút gọn A.

b) Khi m = 2, tìm x để A = 0.

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) $\left|2x-5\right|=7$

b) $\left|2x+3\right|=x+1$

c) $\left|4x+2\right|=\left|x+6\right|$

d) $\left|3x-1\right|=2x+5$

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x-1}{2}+\frac{3x+4}{4}=\frac{1-3x}{8}$

b) $\frac{x+\frac{2x-1}{5}}{3}=1+\frac{1+\frac{x}{12}}{5}$

c) $\frac{3x-1}{2}-\frac{2-6x}{5}=\frac{1}{2}+\left(3x-1\right)$

d) $\left(x+1\right)-\frac{x+1}{3}=\frac{5\left(x+1\right)-1}{6}$

Bài 9: Tìm điều kiện của các phương trình sau:

a) $\frac{x-3}{x-2}+\frac{2x}{2x-5}=0$

b) $\left(\frac{2}{x^2-1}-3\right).\frac{x-1}{2x-3}=4$

c) $\frac{x-1}{x^2-4}+\frac{2}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x+2}$

d) $\frac{4x+2}{x^2+7x+12}-\frac{3}{x+4}=5$.

Bài 10: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2}=\frac{3x-12}{x^2-4}$

b) $\frac{-x^2+12x+4}{x^2+3x-4}=\frac{12}{x+4}+\frac{12}{3x-3}$

c) $\frac{5}{8x}-\frac{x-3}{4x^2-8x}=\frac{x+1}{2x^2-4x}-\frac{x+8}{16-8x}$

d) $\frac{2x-1}{x^2+4x-5}+\frac{x-2}{x^2-10x+9}=\frac{3x-12}{x^2-4x-45}$

Bài 11: Giải các phương trình sau:

a) $2x^3-6x^2=x^2-3x$

b) $\left(4x-1\right)\left(x+5\right)=x^2-25$

c) ${\left(x-1\right)}^2={\left(2x+5\right)}^2$

d) $\frac{{\left(x-2\right)}^3}{2}=x^2-4x+4$

e) $x^3+8x=-2x\left(x+2\right)$

f) $4x^2+8x-5=0$

Bài 12: Tìm giá trị của tham số m để phương trình $\frac{1}{2}\left(y^2+\frac{7}{4}\right)-2y\left(m-1\right)=2m^2-8$ nhận $y=\frac{1}{2}$ là nghiệm.

Bài 13: Giải các phương trình sau:

a) $\left|x^2+7x+12\right|+\left|x^2+5x+6\right|=0$

b) $\left|2x^2-4\right|+\left|x+2\right|=0$

c) $\left|x^2+6x\right|=8$

Bài 14: Giải các phương trình sau:

a) ${\left(x^2-2x\right)}^2-6\left(x^2-2x\right)+9=0$

b) ${\left(x+3\right)}^2\left(x^2+6x+1\right)=9$

c) $2x\left(8x-1\right)\left(8x^2-x+2\right)=126$

d) $x\left(x-1\right)\left(x^2-x+1\right)=6$

Bài 15: Cho phương trình:

$\frac{x-1}{x+a}-\frac{x}{x-a}=\frac{x+2a}{a^2-x^2}$

a) Giải phương trình khi a = 2.

b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 16: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{18-x}{5}+\frac{17-x}{6}=\frac{16-x}{7}+\frac{15-x}{8}$

b) $\frac{x-30}{10}+\frac{x-28}{9}+\frac{x-26}{8}=-6$

c) $\frac{20-x}{3}+\frac{22-x}{4}=\frac{24-x}{5}+\frac{26-x}{6}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải bài tập
• Đa giác, đa giác lồi, đa giác đều và cách giải bài tập
• Diện tích hình chữ nhật và cách giải bài tập
• Diện tích tam giác và cách giải bài tập
• Diện tích hình thang và cách giải bài tập

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---

---

---