Diện tích tam giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Bài viết Diện tích tam giác và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Diện tích tam giác và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
+ Tam giác thường:
Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao tương ứng.
S = (đơn vị diện tích)
Với a là độ dài cạnh BC; là độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC.
+ Tam giác vuông
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c; AC = b
Diện tích tam giác vuông ABC: S = (đơn vị diện tích).
Chú ý:
- Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số hai đường cao tương ứng với hai cạnh đó.
- Nếu hai tam giác có một đường cao bằng nhau thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các cạnh tương ứng.
II. Dạng bài tập
Dạng 1: Tính diện tích tam giác và chứng minh hệ thức về diện tích tam giác
Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
+ Đối với tam giác thường.
S = (đơn vị diện tích)
Với a là độ dài cạnh; là độ dài đường cao tương ứng.
+ Đối với tam giác vuông
S = (đơn vị diện tích)
Với b, c là độ dài hai cạnh góc vuông.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh .
Lời giải:
Ta có: M là trung điểm của BC nên BM = CM
Kẻ AHBC tại H
Xét tam giác ABM có: AHBCAHBM nên AH là đường cao của tam giác ABM.
Diện tích tam giác ABM là
(đơn vị diện tích) (1)
Xét tam giác AMC có: AHBCAHCM nên AH là đường cao của tam giác ACM.
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với BM = CM =
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên là a độ dài cạnh đáy là b theo a, b.
Lời giải:
Giả sử tam giác cân cần tính diện tích là tam giác ABC cân tại A với AB = AC = a; BC = b
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC
BH = CH = BC = b
Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:
(định lý Py – ta – go)
Diện tích tam giác ABC là
Dạng 2: Sử dụng công thức diện tính tích tam giác để tính độ dài các đoạn thẳng, chứng minh hệ thức hình học.
Phương pháp giải:
+ Từ công thức ta suy ra công thức và
a, h là độ dài đáy và chiều cao tương ứng.
+ Phát hiện quan hệ diện tích trong hình rồi sử dụng các công thức trên.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Có BC = 60cm. Đường cao AH = 40cm. Tính các đường cao BE và CF của tam giác.
Lời giải:
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến trong tam giác nên H là trung điểm BC
Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
(định lý Py – ta – go)
Mà tam giác ABC là tam giác cân
Diện tích tam giác ABC là
Lại có:
Tính toán tương tự
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Chứng minh .
Lời giải:
Diện tích tam giác ABC là
Diện tích tam giác BHC là:
Diện tích tam giác AHC là:
Diện tích tam giác AHB là:
Tỉ số diện tích của tam giác BHC và tam giác ABC là:
(1)
Tỉ số diện tích của tam giác AHC và tam giác ABC là:
(2)
Tỉ số diện tích của tam giác AHB và tam giác ABC là:
(3)
Cộng vế với vế của (1); (2); (3) ta được:
Dạng 3: Tìm diện tích lớn nhất, nhỏ nhất của một hình
Phương pháp giải: Để tìm diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của một hình ta có thể liên hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Chú ý:
+ Nếu diện tích của một hình luôn lớn hơn hoặc bằng một số m và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng m thì m là diện tích nhỏ nhất của hình.
+ Nếu diện tích của một hình luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số M và tồn tại vị trí của hình để diện tích bằng M thì M là diện tích lớn nhất của hình.
Ví dụ 1: Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC biết AB = 3cm, BC = 4cm.
Vẽ AH vuông góc với BC tại H
Theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên ta có:
Khi đó diện tích tam giác ABC là
lớn nhất khi
Dấu “=” xảy ra khi AHAB hay HB, tam giác ABC vuông tại B
Diện tích lớn nhất của tam giác ABC là:
Ví dụ 2: Tính diện tích lớn nhất của tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = a.
Lời giải:
Đặt AC = b; AB = c
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:
(định lý Py – ta – go)
Áp dụng bất đẳng thức cho hai số b, c ta có:
Diện tích tam giác ABC là:
Dấu “=” xảy rab = c
vuông cân tại A
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là khi tam giác ABC là tam giác vuông cân.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm G . Chứng minh:
a) .
b) Các tam giác GAB; GBC và GCA có diện tích bằng nhau.
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = 60cm, đường cao AH; AH = 40cm. Gọi D và E theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Tính diện tích tứ giác BDEC.
Bài 3: Tính diện tích tam giác đều có cạnh bằng a.
Bài 4: Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra vị trí điểm M trong tam giác sao cho .
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh:
a)
b)
Bài 6: Cho tam giác ABC có diện tích 30. G là trọng tâm tam giác. Tính diện tích tam giác BCG.
Bài 7: Cho tam gác ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Tính độ dài đường cao BK.
Bài 8: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Cho biết BC = 10cm, BD = 9cm, CE = 12cm.
a) Chứng minh BD vuông góc với CE
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Lấy M trên cạnh AC sao cho . Xác định vị trí điểm N trên BC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn tứ giác AMNB có diện tích gấp ba lần diện tích MNC.
Bài 10: Các hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 10cm. Hình nào có diện tích lớn nhất.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Diện tích hình thang và cách giải bài tập
- Diện tích hình thoi và cách giải bài tập
- Diện tích đa giác và cách giải bài tập
- Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số và cách giải bài tập
- Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều