Diện tích hình thoi và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Diện tích hình thoi và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.

Diện tích hình thoi và cách giải bài tập

ng>I. Lý thuyết

1. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc có diện tích bằng nửa tích của hai đường chéo.

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó là độ dài hai đường chéo.

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Khi đó diện tích tứ giác ABCD là: $S=\frac{1}{2}AC.BD$.

2. Diện tích hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó là độ dài hai đường chéo.

Cho ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC và BD có độ dài là . Khi đó diện tích hình thoi ABCD là:

$S=\frac{1}{2}AC.BD$$=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh tứ giác có hai đường chéo vuông góc (nếu đề bài chưa cho)

Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

$S=\frac{1}{2}{d}_1.d_2$ trong đó $d_1,d_2$ là độ dài hai đường chéo.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD, có AC và BD vuông góc với nhau, AC = 4cm, BD = 6cm. Tính diện tứ giác ABCD.

Lời giải:

Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau nên diện tích tứ giác ABCD là

$S=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6}=12c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 5cm, CD = 12cm, BD = 8cm, AC = 15cm.

a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở E. Tính $\widehat{DBE}$.

b) Tính diện tích hình thang ABCD.

Lời giải:

a) Đường thẳng qua B song song với AC cắt CD ở E nên BE // AC và CE // AB (do AB // CD)

Xét tứ giác ABEC có:

BE // AC (chứng minh trên)

CE // AB (chứng minh trên)

Do đó tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow$AB = CE = 5cm; AC = BE = 15cm (tính chất)

Ta có: DE = DC + CE = 12 + 5 = 17cm

Xét tam giác BED có:

$B{E}^2={15}^2=225$

$B{D}^2=8^2=64$

$D{E}^2={17}^2=289$

Nhận thấy: $D{E}^2=B{D}^2+B{E}^2$(289 = 64 + 225)

Do đó tam giác BED vuông tại B (định lý Py – ta – go đảo)

$\Rightarrow \widehat{DBE}=90°$

b) Vì $\widehat{DBE}=90°$ nên BD$\perp$BE. Mà BE // AC nên BD$\perp$AC

Diện tích hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau là $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.15.8}=60c{m}^2$

Dạng 2: Tính diện tích hình thoi.

Phương pháp giải: Có hai cách tính diện tích hình thoi

Cách 1: Dựa vào công thức tính diện tích theo hai đường chéo vuông góc.

Cách 2: Xem hình thoi là một hình bình hành rồi sử dụng công thức tính diện tích hình bình hành

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 2cm và một trong các góc của nó bằng

Lời giải:

Gọi hình thoi cần tính diện tích là ABCD, có $\widehat{A}=60°$

Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = AD = 2cm

Xét tam giác ABD có:

AB = AD

$\widehat{A}=60°$

Do đó tam giác ABD là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$AB = AD = BD = 2cm (tính chất).

Vì ABCD là hình thoi nên BD vuông góc AC và BD, AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

$\Rightarrow$E là trung điểm của BD$\Rightarrow$BE = ED = 1cm.

Xét tam giác AED vuông tại E.

$A{E}^2+E{D}^2=A{D}^2$

$\iff A{E}^2+1^2=2^2$

$\iff A{E}^2=3$

$\iff AE=\sqrt{3}cm$

Vì E là trung điểm của AC$\Rightarrow AC=2AE=2.\sqrt{3}=2\sqrt{3}cm$

Diện tích hình thoi ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}\mathrm{.2.2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$c{m}^2$.

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD cân (AB // CD) có E, N, G, M lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác MENG là hình gì?

b) Cho $S_{ABCD}=800m^2$. Tính $S_{MENG}$?

Lời giải:

a) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên EN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}EN//AC\\ EN=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.\left(1\right)$ (tính chất)

Vì M là trung điểm của AD, G là trung điểm của CD nên MG là đường trung bình của tam giác DAC.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MG//AC\\ MG=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.\left(2\right)$ (tính chất)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MG//EN\\ MG=EN\end{array}\right.$

Xét tứ giác ENGM có:

$\left\{\begin{array}{l}MG//EN\\ MG=EN\end{array}\right.$

$\Rightarrow$tứ giác ENGM là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Vì E là trung điểm của AB, M là trung điểm của AD nên EM là đường trung bình của tam giác ADB

$\Rightarrow EM=\frac{1}{2}BD$ (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Mà ABCD là hình thang cân nên AC = BD

Do đó EM = NE ($\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC$)

Hình bình hành ENGM có EM = NE

$\Rightarrow$Hình bình hành ENGM là hình thoi.

b) Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC do đó AM = BN; MD = CN

Xét tam giác MAE và tam giác NBE có:

$\widehat{MAE}=\widehat{NBE}$(hai góc ở đáy của hình thang cân)

AE = BE (do E là trung điểm của AB)

AM = BN (chứng minh trên)

Do đó $\Delta MAE=\Delta NBE$(c – g – c)

$\Rightarrow S_{MAE}=S_{NBE}$

Vì E là trung điểm của AB nên độ dài đường vuông góc kẻ từ E xuống AD bằng nửa độ dài đường vuông góc kẻ từ B xuống AD. Gọi là độ dài đường vuông góc kẻ từ E xuống AD, là độ dài đường vuông góc kẻ từ B xuống AD khi đó:

 $h_2$ = 2$h_1$

Ta có: $S_{MAE}=\frac{1}{2}{h}_1.AM$

$S_{ABD}=\frac{1}{2}{h}_2.AD$

Tỉ số diện tích tam giác MAE và tam giác ABD là

$\frac{S_{MAE}}{S_{ABD}}=\frac{\frac{1}{2}{h}_1.AM}{\frac{1}{2}{h}_2.AD}=\frac{h_1.AM}{2h_1.2AM}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow S_{MAE}+S_{EBN}=\frac{1}{2}{S}_{ABD}$ (do $S_{MAE}=S_{NBE}$)

Chứng minh tương tự ta được: $S_{MDG}+S_{GCN}=\frac{1}{2}{S}_{BCD}$

Ta có:

$S_{ENGM}=S_{ABCD}-S_{MAE}-S_{NBE}-S_{MDG}-S_{GNC}$

$\iff S_{ENGM}=S_{ABCD}-\left(S_{MAE}+S_{NBE}+S_{MDG}+S_{GNC}\right)$

$\iff S_{ENGM}=S_{ABCD}-\left(\frac{1}{2}{S}_{ABD}+\frac{1}{2}{S}_{BCD}\right)$

$\iff S_{ENGM}=S_{ABCD}-\frac{1}{2}\left(S_{ABD}+S_{BCD}\right)$

Mà $S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}$

$\Rightarrow S_{ENGM}=S_{ABCD}-\frac{1}{2}{S}_{ABCD}=800-\frac{1}{2}.800=400$$m^2$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình thoi có cạnh 5cm và một trong các góc của nó bằng $30°$.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I kẻ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC  tại N. Lấy D đối xứng I qua N.

a) Tứ giác ADCI là hình gì?

b) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh: $\frac{DK}{DC}=\frac{1}{3}$.

c) Cho AB = 12cm, BC = 20cm. Tính diện tích hình ADCI.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, D thuộc tia đối của tia MA sao cho AD = 3AM. Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm.

Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Chứng minh: $AC.BD\le 2A{B}^2$

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM.  D thuộc tia đối của tia MA sao cho AD = 3AM. Tính diện tích tứ giác ABDC, biết AB = 5cm, BC = 6cm.

Bài 6: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm, tổng hai đường chéo bằng 46cm.

Bài 7: Tính cạnh của hình thoi có diện tích bằng $24c{m}^2$, tổng hai đường chéo bằng 14cm.

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vuông góc với BD tại O.

a) Chứng minh các tam giác OCD, OAB vuông cân.

b) Biết AB = 2cm, CD = 8cm, AD = 5cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Bài 9: Cho hình thoi ABCD có AC = 10cm, BD = 6cm. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

b) Tính diện tích hình thoi ABCD.

c) Tính diện tích tứ giác EFGH.

Bài 10: So sánh diện tích của một hình thoi và một hình vuông có cùng chu vi.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Diện tích đa giác và cách giải bài tập
• Phân thức đại số, tính chất cơ bản của phân thức đại số và cách giải bài tập
• Rút gọn phân thức đại số và cách giải bài tập
• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và cách giải bài tập
• Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---

---

---