Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập (hay, chi tiết)
Bài viết Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 8.
Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
1. Phép cộng các phân thức đại số
a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).
b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức
Bước 1: Quy đồng mẫu thức
Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
c) Tính chất của phép cộng
Cho ba phân thức với
+ Tính giao hoán:
+ Tính kết hợp:
+ Cộng với 0: .
2. Phép trừ các phân thức đại số
a) Phân thức đối
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Phân thức là phân thức đối của với và ngược lại phân thức là phân thức đối của phân thức . Ta có: .
Như vậy: và .
b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số
Muốn trừ phân thức cho phân thức ta lấy phân thức cộng với phân thức đối của :
với .
3. Phép nhân các phân thức đại số
a) Quy tắc nhân phân thức
Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức
với .
b) Tính chất của phép nhân:
Cho ba phân thức với
- Tính giao hoán:
- Tính kết hợp:
- Tính phân phối:
4. Phép chia các phân thức đại số
a) Hai phân thức nghịch đảo
- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.
- Nếu là một phân thức khác 0 thì , do đó:
+ Phân thức nghịch đảo của là .
+ Phân thức nghịch đảo của là .
b) Quy tắc chia hai phân thức.
Muốn chia phân thức cho phân thức , ta nhân phân thức với nghịch đảo của phân thức
Tức là .
Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.
II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Cộng các phân thức đại số
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán
Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:
a) với
b) với
c) với .
Lời giải:
a)
với .
b)
với .
c)
với .
Ví dụ 2: Cho A = với
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x = 1; y = 3.
Lời giải:
a)
b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:
Vậy khi x = 1; y = 3.
Dạng 2: Trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước
Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) với
b) với .
Lời giải
a)
với
b)
với
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức . Từ đó, hãy tính biểu thức
với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.
Lời giải:
* Chứng minh biểu thức:
(điểu phải chứng minh)
* Tính giá trị M:
Ta có:
Chứng minh tương tự:
….
Do đó:
Vậy
Dạng 3: Nhân các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số
Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) với
b) với
c) với .
Lời giải:
a)
với .
b)
với .
c)
với .
Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau
với .
Lời giải:
với .
Dạng 4: Chia các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.
Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Làm tính chia
a) với ;
b) với
c) với .
Lời giải:
a)
với ;
b)
với
c)
với .
Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết:
với ; .
Lời giải:
với .
Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số
Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc.
Thứ tự thực hiện phép tính:
- Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ.
Lũy thừanhân và chiacộng và trừ.
- Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự
( ) [ ] { }
Ví dụ: Thực hiện phép tính
a) với
b) với
Lời giải:
a)
với .
b)
với .
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Thực hiện phép tính
a) với
b) với
c) với .
Bài 2: Thực hiện phép tính
a) với
b) với
c) với .
Bài 3: Thực hiện phép tính:
a) với
b) với
c) với
d) với .
Bài 4: Thực hiện phép tính
a) với
b) với
c) với
d) với .
Bài 5: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:
a) với
b) với .
Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết
a) với
b) với .
Bài 7: Thực hiện phép tính
với .
Bài 8: Thực hiện phép tính
với .
Bài 9: Tìm phân thức T biết
.
Giả thuyết tất cả các mẫu thức khác 0.
Bài 10: Tính hợp lí biểu thức
với .
Bài 11: Chứng minh biểu thức . Từ đó, hãy tính biểu thức
với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Rút gọn biểu thức hữu tỉ và cách giải bài tập
- Tính giá trị của phân thức và cách giải bài tập
- Tìm x để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước và cách giải bài tập
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập
- Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều