Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết)
Bài viết Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.
Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập
I. Lý thuyết
1. Góc ở tâm
- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Khi đó là góc ở tâm.
- Nếu thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.
- Nếu thì mỗi cung là một nửa đường tròn.
- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.
Kí hiệu cung AB là .
2. Số đo cung
- Số đo của cung được kí hiệu là sđ .
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
Ví dụ trên hình vẽ:
sđ nhỏ (góc ở tâm chắn cung )
- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
- Số đo của nửa đường tròn bằng , số đo cả đường tròn bằng .
3. So sánh hai cung
Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn.
Chú ý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì
sđ = sđ + sđ .
4. Một số định lí liên hệ giữ cung và dây
Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau ta có:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
Một số định lý khác:
- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy vừa ngược lại.
II. Các dạng toán
Dạng 1: Bài toán liên quan đến góc ở tâm, số đo cung
Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng các kiến thức sau:
- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.
- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).
- Số đo của nửa đường tròn bằng , số đo cả đường tròn bằng .
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.
- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.
Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết
a) Tính và .
b) Tính số đo cung nhỏ và số đo cung lớn.
Lời giải:
a) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
OM là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (tính chất)
Xét tam giác AOM có:
(định lí tổng ba góc trong một tam giác)
.
b) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M
OM là tia phân giác (tính chất)
Ta có: là góc ở tâm chắn cung nhỏ
= sđ nhỏ (định lí góc ở tâm)
sđ nhỏ =
Số đo lớn là:
- sđ nhỏ = .
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB = . Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB
(tính chất)
Vì I là trung điểm của AB nên .
Xét tam giác AOI vuông tại I ta có:
Xét tam giác AOB có:
OA = OB = R
Do đó tam giác AOB là tam giác cân tại O
OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác.
Mà là góc ở tâm chắn cung nhỏ
= sđ nhỏ (định lí góc ở tâm)
sđ nhỏ =
Số đo lớn là:
- sđ nhỏ = .
Dạng 2: Các bài toán liên hệ giữa dây và cung
Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến dây và cung, cần nắm chắc định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với liên hệ giữa cung và dây.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây AC và BD sao cho AC và BD song song với nhau. So sánh số đo hai cung nhỏ và .
Lời giải:
Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD
Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng
Xét và có
OA = OB (bán kính)
(hai góc đối đỉnh)
Do đó = ( cạnh huyền – góc nhọn)
AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD
AC = BD
Ta có:
AC là dây căng cung nhỏ
BD là dây căng cung nhỏ
Do đó: sđ nhỏ = sđ nhỏ (định lý hai day bằng nhau căng hai cung bằng nhau).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:
a) BC song song với DE.
b) Tứ giác BCED là hình thang cân.
Lời giải:
a) Xét tam giác AED có:
O là trung điểm của AE
Mà OA = OE = OD = R
Do đó tam giác AED vuông tại D (tính chất)
Mặt khác
Do đó DE // BC (quan hệ từ vuông góc đến song song)
b) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
Do đó:
sđ nhỏ = sđ nhỏ (nằm giữa hai dây DE và BC song song với nhau)
Lại có:
sđ nhỏ + sđ nhỏ = sđ nhỏ (1)
sđ nhỏ + sđ nhỏ = sđ nhỏ (2)
Từ (1) và (2) sđ nhỏ = sđ nhỏ
CD = BE (định lý hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)
Xét tứ giác BCED có:
BC // ED
Tứ giác BCED là hình thang
Lại có CD = BE nên tứ giác BCED là hình thang cân.
III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung AC có số đo nhỏ hơn . Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh =.
Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AO. Các điểm C, D thuộc đường (O) sao cho . Các dây AC và AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:
a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;
b) Số đo các cung của đường tròn (O).
Bài 3: Trên cung nhỏ của (O), cho hai điểm C và D sao cho cung được chia thành ba phần bằng nhau . Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F.
a) Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng AE và FB.
b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến AM và BM với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).
a) Tính ;
b) Tính và số đo cung nhỏ .
c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ .
Bài 5: Cho đường tròn (O; R), B là điểm thuộc (O). Gọi H là trung điểm của OB. Dây CD vuông góc với OB tại H. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD.
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ <. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:
a) AB vuông góc với DN.
b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 7: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Chứng minh:
a) AM = CN.
b) MN = CA = CB.
Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC biết .
Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN = . Kẻ OK vuông góc vớ MN tại K. Hãy tính:
a) Độ dài OK theo R.
b) Số đo các góc và .
c) Số đo cung nhỏ và cung lớn .
Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh:
a) Hai cung nhỏ và bằng nhau.
b) Hai cung nhỏ và bằng nhau.
c) DE = BF.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải
- Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải
- Các bài tập về góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và cách giải
- Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình và cách giải bài tập
- Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập
Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 9 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
- Lớp 9 Kết nối tri thức
- Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 9 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
- Giải sgk Tin học 9 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
- Lớp 9 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 9 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
- Giải sgk Tin học 9 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
- Lớp 9 Cánh diều
- Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
- Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều