Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết)



Bài viết Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập

I. Lý thuyết

1. Góc ở tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Cho đường tròn (O) hai điểm A, B nằm trên đường tròn. Khi đó AOB^ là góc ở tâm.

- Nếu 0°<α<180° thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

- Nếu α=180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

- Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

Kí hiệu cung AB là Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

2. Số đo cung

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

- Số đo của cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) được kí hiệu là sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Ví dụ trên hình vẽ:

AOB^= sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ (góc ở tâm chắn cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1))

- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180°, số đo cả đường tròn bằng 360°.

3. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì được gọi là cung lớn hơn.

Chú ý: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) = sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)  + sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

4. Một số định lí liên hệ giữ cung và dây

Định lí 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau ta có:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

 Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Một số định lý khác:

- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy vừa ngược lại.

II. Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán liên quan đến góc ở tâm, số đo cung

Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo cung bị chắn ta sử dụng các kiến thức sau:

- Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo cung lớn bằng hiệu giữa và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng , số đo cả đường tròn bằng .

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính góc.

- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.

Ví dụ 1: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết AMB^=40°

a) Tính AMO^AOM^.

b) Tính số đo cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ và số đo cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

OM là tia phân giác của AMB^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

AMO^=BMO^=AMB^2=40°2=20°

Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn OAAM (tính chất)

OAM^=90°

Xét tam giác AOM có:

OAM^+AMO^+AOM^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

90°+20°+AOM^=180°

AOM^=180°90°20°

AOM^=70°.

b) Vì AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

 OM là tia phân giác AOB^ (tính chất)

AOM^=BOM^=AOB^2

AOB^=2AOM^AOB^=2.70°=140°

Ta có: AOB^ là góc ở tâm chắn cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

AOB^ = sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ (định lí góc ở tâm)

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ =140°

Số đo Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn là:

360° - sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = 360°140°=220°.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R). Vẽ dây AB = R2. Tính số đo cung nhỏ AB và số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB

OIAB (tính chất)

AIO^=90°

Vì I là trung điểm của AB nên IA=IB=AB2=R22.

Xét tam giác AOI vuông tại I ta có:

sinAOI^=AIOA=R22R=22

AOI^=45°

Xét tam giác AOB có:

OA = OB = R

Do đó tam giác AOB là tam giác cân tại O

OI vừa là đường cao vừa là đường phân giác.

AOB^=2AOI^=2.45°=90°

Mà AOB^ là góc ở tâm chắn cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

AOB^= sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ (định lí góc ở tâm)

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = 90°

Số đo Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn là:

360° - sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = 360°90°=270°.

Dạng 2: Các bài toán liên hệ giữa dây và cung

Phương pháp giải: Để giải các bài toán liên quan đến dây và cung, cần nắm chắc định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với liên hệ giữa cung và dây.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây AC và BD sao cho AC và BD song song với nhau. So sánh số đo hai cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD

OFACOGBD

Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng

Xét ΔAOF và ΔBOG  có

OA = OB  (bán kính)

AOF^=BOG^ (hai góc đối đỉnh)

OFA^=OGB^=90°

Do đó ΔAOF = ΔBOG ( cạnh huyền – góc nhọn)

AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD

 AC = BD

Ta có:

AC là dây căng cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

BD là dây căng cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Do đó: sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = sđGóc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)  nhỏ (định lý hai day bằng nhau căng hai cung bằng nhau).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AH của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại D. Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Chứng minh:

a) BC song song với DE.

b) Tứ giác BCED là hình thang cân.

Lời giải:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Xét tam giác AED có:

O là trung điểm của AE

Mà OA = OE = OD = R

Do đó tam giác AED vuông tại D (tính chất)

ADE^=90°

DEAD

Mặt khác ADBC

Do đó DE // BC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

b) Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

Do đó:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ (nằm giữa hai dây DE và BC song song với nhau)

Lại có:

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ + sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)  nhỏ  = sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ   (1)

Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ + sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)  nhỏ = sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ  (2)

Từ (1) và (2) Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ = sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ

CD = BE (định lý hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Xét tứ giác BCED có:

BC // ED

Tứ giác BCED là hình thang

Lại có CD = BE nên tứ giác BCED là hình thang cân.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung AC có số đo nhỏ hơn 90°. Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB. Chứng minh Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)=Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AO. Các điểm C, D thuộc đường (O) sao cho Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1). Các dây AC và AD cắt đường tròn (O’) theo thứ tự tại E và F. Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng OE và OF;

b) Số đo các cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) của đường tròn (O).

Bài 3: Trên cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) của (O), cho hai điểm C và D sao cho cung Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) được chia thành ba phần bằng nhau Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1). Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F.

a) Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng AE và FB.

b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song.

Bài 4: Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến AM và BM với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Tính AOM^;

b) Tính AOB^ và số đo cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm chính giữa của cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Bài 5: Cho đường tròn (O; R), B là điểm thuộc (O). Gọi H là trung điểm của OB. Dây CD vuông góc với OB tại H. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD.

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ hai dây AM và BN song song với nhau sao cho sđ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)<90o. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN cắt AB tại E. Từ E vẽ một đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM tại C. Chứng minh:

a) AB vuông góc với DN.

b) BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 7: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và C là điểm chính giữa của nửa đường tròn. Trên các cung CA và CB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1). Chứng minh:

a) AM = CN.

b) MN = CA = CB.

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC biết A^=50°.

Bài 9: Cho đường tròn (O; R) và dây cung MN = 3R. Kẻ OK vuông góc vớ MN tại K. Hãy tính:

a) Độ dài OK theo R.

b) Số đo các góc MOK^MON^.

c) Số đo cung nhỏ và cung lớn Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên cùng nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Kẻ CH vuông góc với AB tại H, CH cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Kẻ AK vuông góc với CD tại K, AK cắt (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) và Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) bằng nhau.

c) DE = BF.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên