Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết)



Bài viết Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

- Cho đường tròn (O) có Ax là tia tiếp tuyến tại điểm A và dây cung AB. Khi đó, BAx^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

2. Định lí

- Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bẳng nửa số đo cung bị chắn.

3. Hệ quả

- Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Ta có:

BAx^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung của đường tròn (O) chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

ACB^là góc nội tiếp của (O) chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

BAx^=ACB^.

4. Bổ đề

- Nếu góc BAx^ với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nằm trong góc đó thì Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đẳng thức hoặc các tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

- Sử dụng hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

- Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp.

- Chứng minh hai cùng bằng góc thứ ba.

- Chứng minh các tam giác bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (N là tiếp điểm). Vẽ NH vuông góc với AB. Chứng minh MNA^=ANH^.

Lời giải:

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vì ANB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (AB là đường kính)

ANB^ là góc vuông (hệ quả)

Xét tam giác ANH và tam giác ABN có:

A^ chung

ANB^=NHA^=90°

Do đó ΔANH đồng dạng với ΔABN (g – g)

ANH^=ABN^ (hai góc tương ứng)    (1)

Lại có MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) với N là tiếp điểm

MNA^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

MNA ^= 12Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)(định lí) (2)

Lại có ABN^ là góc nội tiếp chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

ABN^=12Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) (định lí)  (3)

Từ (2) và (3) ABN^=MNA^  (4)

Từ (1) và (4) MNA^=ANH^ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d không cắt đường tròn (O), vẽ đường kính CD vuông góc với d tại I. Kẻ tiếp tuyến IA với đường tròn (O). Đường thẳng CA cắt (d) tại B. Chứng minh IA = IB.

Lời giải:

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Ta có:

CAD^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do có CD là đường kính)

CAD^ là góc vuông

CAD^=90°

Xét tam giác CBI vuông tại I ta có:

BCI^+CBI^=90° (hai góc nhọn phụ nhau)

 CBI^=90°BCI^   (1)

Ta có:

DAB^=DAI^+IAB^

90°=DAI^+IAB^

IAB^=90°DAI^(2)

Lại có: ACD^ là góc nội tiếp chắn Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

DAI^ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Do đó:

DAI^=ACD^ (cùng chắn Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Mà A, C, B thẳng hàng và C, D, I thẳng hàng nên

DAI^=BCI^   (3)

Từ (1) (2) (3) IAB^=CBI^

Xét tam giác AIB có:

IAB^=CBI^

Do đó tam giác AIB cân tại I (dấu hiệu nhận biết)

IA = IB (tính chất).

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải:

- Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả hai góc nội tiếp.

- Chứng minh tia vuông góc với bán kính để suy ra tiếp tuyến.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) và dây AB (AB < 2R). Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Gọi C là điểm bất kỳ thuộc dây AB. PC cắt đường tròn tại D. Chứng minh PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Lời giải:

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Ta có:

ADP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

BAP^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Mà P là điểm chính giữa cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)= sđ Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Do đó:  ADP^ = BAP^ (hệ quả) (*)

Vẽ tia Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC với A là tiếp điểm

CAx^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung CAx^ và chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Lại có CDA^ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDA và CDA^ chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Do đó CDA^=CAx^ (hệ quả) (**)

CDA^ chính là ADP^. Kết hợp với (*) và (**)

CAx^=BAP^

Hay Ax trùng với AP

AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với A là tiếp điểm.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định trên đường  tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của MA, K là giao điểm của BI với (O).

a) Chứng minh tam giác IKA và tam giác IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB.

b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song với MA.

Lời giải:

Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Ta có:

ABK^ là góc nội tiếp chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)  (1)

KAI^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)   (2)

Từ (1) và (2) ABK^=KAI^ (hệ quả)

Xét tam giác IKA và tam giác IAB có:

AIK^ chung

ABK^=KAI^(chứng mnh trên)

Do đó ΔIKA ΔIAB (g – g)

Chứng minh tương tự ta sẽ được ΔIKMΔIMB (c – g – c).

b) Từ câu a ta có ΔIKMΔIMBIMK^=KBM^ (hai góc tương ứng)   (3)

Lại có:

BCK^ là góc nội tiếp chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

KBM^ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung Các bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Do đó BCK^=KBM^ (4)

Từ (3) và (4) IMK^=BCK^

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên hai đường thẳng BC và AM song song với nhau.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB; AC với (O), B; C là hai tiếp điểm. Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N) 

a) Chứng minh: AB2=AM.AN

b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh AH.AO = AM.AN.

c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 2: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tiếp tuyến tại A cắt BC ở I.

a) Chứng minh: IBIC=AB2AC2.

b) Tính IA; IC biết AB = 20cm; AC = 28cm; BC = 24cm.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P.

a) Chứng minh tam giác PAC và tam giác PBA đồng dạng.

b) Chứng minh PA2=PB.PC.

c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC và (O) lần lượt tại D và M. Chứng minh MB2=MA.MD.

Bài 4: Cho tam gác ABC nội tiếp đường tròn (O), At là tiếp tuyến của đường tròn (O). Đường thẳng song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh AB.AM = AC.AN.

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) và cắt (O’) tại E. Qua A vẽ tiếp tuyến Ay với (O’) cắt (O) tại D. Chứng minh AB2=BD.BE.

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB / CD) có BD2=AB.CD. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tiếp xúc với BC.

Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh 2cm. Tính bán kính của đường tròn đi qua A và B biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ D đến đường tròn đó bằng 4cm.

Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.

Bài 9: Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau ở C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K, H theo thứ tự là giao điểm của NC, MC với EF. Gọi G là giao điểm của EM, FN. Chứng minh:

a) Tam giác GMN và tam giác DMN bằng nhau.

b) GD là đường trung trực của KH.

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD, A^90°. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC ở E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên