Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết)



Bài viết Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Trong hình vẽ trên, ta nói: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

2. Định lí

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Xét hình vẽ:

- Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) A^+C^=180° hoặc B^+D^=180°

- Tứ giác ABCD có A^+C^=180° hoặc B^+D^=180° thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng các góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Xét hình vẽ:

 Nếu A^+C^=180°  Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của một đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Xét hình vẽ:

Nếu D1^=B^Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta xác định được) là tứ giác nội tiếp, điểm cách đều đó là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Xét hình vẽ:

Nếu OA = OB = OC = OD Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Điểm O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc α không đổi là tứ giác nội tiếp.

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Xét hình vẽ:

Nếu DAC^=DBC^  Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn hay ABCD là tứ giác nội tiếp.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể dùng một trong bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

Cách 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

Cách 2: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng các đều 1 điểm.

Cách 3: Chứng minh hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh đó một góc không đổi.

Các 4: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Ví dụ 1:  Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và F. Chứng minh tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Ta có:

MDC^ là góc nội tiếp chắn cung Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

MDC^=12Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) (định lí)

Mà Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Nên MDC^=12 (sđ Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)+ sđ Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)) (1)

Lại có CPB^ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

CPB^=12 (sđ Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)+ sđ Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1))  (2)

Lạ có M là điểm chính giữa cung AB

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)= sđ Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) (định lý) (3)

Từ (1); (2); (3) CPB^=MDC^

Xét tứ giác PEDC có:

CPB^=MDC^

Mà góc CPB^ là góc ngoài của đỉnh P và đỉnh P và D là hai đỉnh đối diện nhau

Do đó: tứ giác PEDC là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Ví dụ 2: Cho tam gác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vì BM là đường cao của tam giác ABC nên AMB^=BMC^=90°

Vì CN là đường cao của tam giác ABC nên ANC^=BNC^=90°

Xét tứ giác AMHN có:

AMB^+ANC^=90°+90°=180°

Mà góc AMB^ANC^ là hai góc đối nhau

Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Xét tứ giác BNMC có:

BMC^=BNC^=90°

Mà hai góc này là hai góc có đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°

Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm thuộc cùng một đường tròn

Phương pháp giải: Ta chia các điểm đó thành các tứ giác, tam giác sau đó chứng minh cho các tứ giác, tam giác đó cùng nội tiếp một đường tròn.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vì E là hình chiếu của D lên BC nên  DEBCDEB^=90°

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác DEB vuông tại E, trung tuyến EO ta có:

OE = OD = OB = 12BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1)

Xét tam giác ABD vuông tại A, trung tuyến AO ta có:

AO = OD = OB = 12BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (1)

Vì E đối xứng với F qua BD nên EFBD. Gọi giao điểm của EF với BD là G.

Vì E đối xứng với F qua BD nên EG = GF.

Xét tam giác DGF và tam giác DGE có:

GF = GE

DG chung

DGF^=DGE^=90°

Do đó ΔDGF=ΔDGE(c – g – c)

DF=DEFDG^=EDG^ (các cặp cạnh tương ứng và các cặp góc tương ứng)

Xét FDB và tam giác EDB có:

BD chung

DF = DE (chứng minh trên)

FDG^=EDG^ (chứng minh trên)

Do đó ΔFDB=ΔEDB (c – g – c)

DFB^=DEB^=90°

Xét tam giác FDB vuông tại F, trung tuyến FO ta có:

FO = OD = OB = 12BD (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có:

OA = OB = OD = OE = OF = 12BC

Do đó 5 điểm A, B, D, E, F cách đều O. Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp đi qau 5 điểm A, B, D, E, F.

Ví dụ 2: Từ điểm S nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến SA; SB với A, B là tiếp điểm và cát tuyến SCD với đường tròn. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh 5 điểm A, I, O, B, S cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Vì SA là tiếp tuyến của đường tròn, A là tiếp điểm nên SA vuông góc với OA.

SAO^=90°

Vì SB là tiếp tuyến của đường tròn, B là tiếp điểm nên SB vuông góc với OB.

SBO^=90°

Vì I là trung điểm của CD nên OI vuông góc với CD (tính chất)

SOI^=90°

Gọi trung điểm của SO là K.

Tam giác OAS vuông tại A với K là trung điểm của SO

OK=KS=AK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (1)

Tam giác OBS vuông tại B với K là trung điểm của SO

OK=KS=BK=12SO (định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (2)

Tam giác OIS vuông tại I có K là trung điểm của SO

OK=KS=IK=12SO (định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   (3)

Từ (1); (2); (3) OK=KS=IK=AK=BK=12SO

Hay 5 điểm A, B, S, I, O cách đều điểm K.

Vậy 5 điểm A, B, S, I, O cùng nằm trên một đường tròn (K) bán kính KS.

Dạng 3: Sửng dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, vuông góc…

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) AH.AB=AD2.

c) Tam giác ACF là tam giác cân.

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Vì CD vuông góc với AB tại H CHA^=90°

Vì CK vuông góc với AE tại K AKC^=90°

Xét tứ giác AKCH có:

AKC^+CHA^=90°+90°=180°

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

Do đó tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp.

b) Vì AB là đường kính do đó ADB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ADB^=90°

Xét tam giác ABD vuông tại D, đường cao DH ta có:

AH.AB=AD2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Vì AHCK là tứ giác nối tiếp

KHC^=KAC^ (hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh KC)

Lại có KAC^=EDC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC

Do đó: EDC^=KHC^

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị với nhau

Do đó KH // DF

Mặt khác AB vuông góc với CD tại H nên H là trung điểm của CD (tính chất)

Vì H là trung điểm của CD, KH // DF do đó K là trung điểm của CF (tính chất)

Xét tam giác ACF có:

AK vuông góc với CF

K là trung điểm của CF

Do đó AK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ACF

Tam giác ACF là tam giác cân tại A.

Ví dụ 2: Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng với O và A). Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, A và E thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ d. Chứng minh:

a) Tứ giác O, E, M, N thuộc cùng một đường tròn.

b) NE2=NC.NB

c) NEH^=NME^ (H là giao điểm của AC và d).

Lời giải:

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Vì NE là tiếp tuyến (O) nên OE vuông góc với EN

OEN^=90°

Vì MN vuông góc với AB nên NMO^=90°

 Xét tứ giác ENOM có:

OEN^=NMO^=90°

Mà hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh ON

Do đó tứ giác ENOM là tứ giác nội tiếp

bốn điểm E, N, O, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có: NBE^ là góc nội tiếp chắn cung NC

NEC^ là góc nội tiếp chắn cung NC

Do đó NBE^=NEC^

 Xét tam giác NEC và tam giác NBE có:

N^ chung

NEC^=NBE^

Do đó: ΔNECΔNBE (g – g)

NENB=NCNE (hai cặp cạnh tương ứng)

Hay NE2=NB.NC

c) Vì ACB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ACB^=90°

NCH^=90°

Xét tam giác HCN và tam giác BMN có:

NCH^=NMB^=90°

N^ chung

Do đó ΔHCNΔBMN (g – g)

NCNM=NHNB (hai cạnh tương ứng)

NC.NB=NM.NH

Theo cấu b ta có: NC.NB=NE2

Do đó: NE2=NM.NH

NENM=NHNE

Xét hai tam giác NEH và tam giác NME có:

N^ chung

NENM=NHNE

Do đó ΔNEHΔNME (c – g – c)

NEH^=NME^ (hai góc tương ứng).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O) cắt (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O’) cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh:

a) Tứ giác GFEC nội tiếp;

b) GC, FE, AB đồng quy.

Bài 2: Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) với đường kính AB sao cho cung Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn hơn cung Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) (BC). Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt dây AC tại D. Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp.

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kỳ (H không trùng O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường (O) ở C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh các tứ giác MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp.

Bài 4: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội tiếp.

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.

a) Chứng minh: Tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: AH.AK có giá trị không đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC.

c) Kẻ DN vuông góc với CB, DM vuông góc với AC. Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy.

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng xy song song với BC cắt AB tại E và cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác EFCB nội tiếp.

Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; BE cắt CF tại H.

a) Chứng minh tứ giá AFHE nội tiếp. Từ đó, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.

b) Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh HE.HB = 2HD.HI

c) Chứng minh bốn điểm D, E, I, F cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E.

a) Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh CA là phân giác của BCD^.

c) Chứng minh ABED là hình thang.

Bài 10: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài dường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc cùng một đường tròn.

b) Chứng minh: AM2=AB.AC.

c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE song song với MC.

d) Chứng minh khi d di chuyển quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm cố định trên một đường thẳng.

Bài 11: Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định. Điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua M kẻ hai tếp tuyến MA và MB tới đường tròn, A, B là các tiếp điểm (A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm của CD. Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B). Nối OM cắt AB tại H.

a) Chứng minh: AE // CD.

b) Tìm vị trí của M để AM vuông góc với MB.

Bài 12: Cho đường tròn (O; R), hai điểm C, D thuộc đường tròn, B là điểm chỉnh giữa của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối S với C cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H. Chứng minh:

a) Tứ giác AMHK nội tiếp

b) HK // CD.

Bài 13: Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E khác C, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, Ax vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh:

a) CAF^=CKF^

b) Tam giác KAF vuông cân.

c) Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF.

d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE.

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh: IHM^=ICM^.

b) Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh MK vuông góc với BK.

c) Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MAB.

d) Gọi E là trung điểm của IH và F là trung điểm của AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ đó suy ra ME vuông góc với EF.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên