Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết)



Bài viết Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 9.

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa góc nội tiếp

- Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh là hai dây cung của đường tròn là góc nội tiếp.

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

Góc BAC^ có đỉnh A nằm trên đường tròn (O) và AB, AC là hai cạnh của góc cũng là hai dây của đường tròn. Do vậy BAC^ là góc nội tiếp của đường tròn (O).

2. Định lý

- Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng.

Phương pháp giải: Dùng hệ quả trong phần tóm tắt lí thuyết để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AM.

a) Tính ACM^.

b) Chứng minh BAH^=OCA^.

Lời giải:

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Ta có:

ACM^ có đỉnh C nằm trên đường tròn (O)

AC và BC là dây của đường tròn (O)

Do đó ACM^ là góc nội tiếp của đường tròn (O)

Mặt khác AM là đường kính nên ACM^ là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn

ACM^=90° (do góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông).

b) ABC^ có đỉnh B nằm trên đường tròn (O) và BA, BC là hai dây của đường tròn

Do đó ABC^ là góc nội tiếp của đường tròn (O) chắn Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1).

Đặt góc ABC^=x0<x<90°

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

BAH^+ABH^+AHB^=180° (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

BAH^+x+90°=180°

BAH^=180°90°x

 BAH^=90°x    (1)

Lại có AOC^ là góc ở tâm chắn cung Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) và ABC^ là góc nội tiếp chắn cung Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

AOC^=2.ABC^=2x

Xét tam giác OAC có:

OA = OC

tam giác OAC cân tại O

OAC^=OCA^

Ta có:

OAC^+OCA^+AOC^=180° (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

2OCA^+2x=180°

2OCA^+x=180°

OCA^+x=180°:2

OCA^+x=90°

OCA^=90°x     (2)

Từ (1) và (2) OCA^=BAH^

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên đường (O). Qua điểm I nằm ngoài đường tròn ta vẽ các dây cung AB và CD sao cho A nằm giữa B và I; C nằm giữa I và D.

a) So sánh các cặp góc ACI^ABD^; CAI^CDB^.

b) Chứng minh tam giác IAC đồng dạng với tam giác IDB.

c) Chứng minh IA.IB = IC.ID.

Lời giải:

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Ta có:

ABD^ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ.

ABD^=12Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ (định lí) (1)

Lại có: ACD^ là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn.

ACD^=12Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn (định lí) (2)

Ta có:

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) nhỏ + sđ Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1) lớn =360°

12 sđ nhỏ Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)+  sđ Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)=180° (3)

Từ (1); (2); (3) ACD^+ABD^=180° (4)

Ta có ACD^+ACI^=180° (do hai góc kề bù) (5)

Từ (4) và (5) ABD^=ACI^ (hai góc cùng bù với góc ACD^).

Chứng minh tương tự cho hai góc CAI^ và CDB^(hai góc cùng bù với góc BAC^)

CAI^=CDB^.

b) Vì  I, A, B thẳng hàng nên ABD^=IBD^, do đó IBD^=ACI^

Vì I, C, D thẳng hàng nên CDB^=IDB^, do đó IDB^=CAI^

Xét hai tam giác IDB và tam giác IAC có:

IBD^=ACI^ (chứng minh trên)

IDB^=CAI^ (chứng minh trên)

Do đó ΔIDB đồng dạng với ΔIAC (g – g)

c) Vì ΔIDB đồng dạng với ΔIACIDIA=IBIC (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

IA.IB = IC.ID

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Sử dụng các định lí, tính chất, hệ quả của góc ở tâm, góc nội tiếp.

Áp dụng quan hệ từ vuông góc đến song song, tiên đề Ơ clit.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi P là giao điểm của BM và AN. Chứng minh SP vuông góc với AB.

Lời giải:

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

AMB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

AMB^ là góc vuông

BMSA

BM là đường cao của tam giác SAB.

Vì ANB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

ANB^ là góc vuông

ANSB

 AN là đường cao của tam giác SAB

Giao điểm của BM và AN là trực tâm tam giác SAB.

P là trực tâm của tam giác SAB.

SPAB (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.

a) Tam giác ABE là tam giác gì?

b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng minh OD vuông góc với AK.

Lời giải:

Các bài tập về góc nội tiếp và cách giải lớp 9 (hay, chi tiết) (ảnh 1)

a) Ta có:

ADB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

ADB^ là góc vuông

ADB^=90°

Xét tam giác ABE có:

ADB^=90° nên BDAE

BD là đường cao của tam giác ABE.    (1)

Mặt khác A đối xứng với E qua D nên D là trung điểm cuả AE

BD là đường trung tuyến của tam giác ABE.   (2)

Từ (1) và (2) ta thấy BD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABE

Tam giác ABE là tam giác cân tại B.

b) Ta có:

D là trung điểm của AE

O là trung điểm của AB

Do đó DO là đường trung bình của tam giác ABE

DO // EB.

Lại có AKB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do AB là đường kính)

AKB^ là góc vuông.

AKB^=90°

AKBE

Ta có:

AKBEDO//BEAKDO (quan hệ từ vuông góc đến song song).

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm , đường kính AH và đường tròn , đường kính BH. Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn O1 và O2 lần lượt tại P và Q. Chứng minh:

a) MH = PQ;

b) Các tam giác MPQ và MBA đồng dạng;

c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn O1O2.

Bài 2: Cho đường tròn (O) có các dây cung AB; BC; CA. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Vẽ dây MN song song với BC. Gọi S là giao điểm của MN và AC. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai dây song song AB, CD. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý. Chứng minh AMC^=BMD^.

Bài 4: Cho đường tròn (O) và hai dây AM và BM vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.

Bài 5: Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. Chứng minh AB2=AH.AD.

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AF.

a) Tứ giác BFCH là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.

c) Chứng minh AH = 2OM.

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15cm, AH = 5cm. Tính bán kính đường tròn (O).

Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD. Chứng minh: AB.AC = AH.AD.

Bài 9:  Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính MN vuông góc với BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh các tia AM, AN lần lượt là các tia phân giác của góc trong và các góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC.

Bài 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R và điểm C nằm ngoài nửa đường tròn và cùng phía với nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn. Đường thẳng CA cắt nửa đường tròn ở M, CB cắt nửa đường tròn ở N. Gọi H là giao điểm của AN và BM.

a) Chứng minh CH vuông góc với AB.

b) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh MI là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Bài 12: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D.

a) Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trên.

b) Đường tròn (I) cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứu hai là M, N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng.

c) Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên