Bài 65 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1

Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Bài 65 trang 41 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

Quảng cáo

a) Giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2} : [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1;

b) Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng 1 khi x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ – 3 và $x \neq - \frac{3}{2}$ .

Lời giải:

Quảng cáo

a) Biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ xác định khi x ≠ 0.

Biểu thức $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . (\frac{1}{x} + 1)$ xác định khi x ≠ 0 và x ≠ – 1.

Với điều kiện x ≠ 0 và x ≠ – 1, ta có:

${(\frac{x + 1}{x})}^{2} : [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . (\frac{1}{x} + 1)]$

$= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . \frac{1 + x}{x})$

$= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : (\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x})$

$= {(\frac{x + 1}{x})}^{2} : \frac{x^{2} + 1 + 2 x}{x^{2}}$

$= \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} . \frac{x^{2}}{x^{2} + 1 + 2 x}$

$= \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} . \frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = 1$ .

Vậy giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2} : [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} . (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ – 1.

b) Biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ xác định khi:

x – 3 ≠ 0, 2x + 3 ≠ 0, x² – 3x ≠ 0 và x² – 9 ≠ 0

Suy ra: x ≠ $\frac{- 3}{2}$ ; x ≠ 0 và x ≠ ± 3.

Với điều kiện x ≠ 3; x ≠ $\frac{- 3}{2}$ ; x ≠ 0; x ≠ – 3, ta có:

$\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$

= $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x (x - 3)} - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . \frac{(x + 3) (x + 3) - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{x (x + 3)}{2 x + 3} . \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{x (x + 3)}{2 x + 3} . \frac{6 x + 9}{x (x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{x (x + 3)}{2 x + 3} . \frac{3 (2 x + 3)}{x (x - 3) (x + 3)}$

$= \frac{x}{x - 3} - \frac{3}{x - 3} = \frac{x - 3}{x - 3} = 1$ .

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng 1 khi x ≠ 3; $x \neq \frac{- 3}{2}$ ; x ≠ 0; x ≠ – 3.