Giải bài 3 trang 99 SGK hình học 10

Trang trước

Trang sau

Ôn tập cuối năm hình học 10

Video Giải Bài 3 trang 99 SGK Hình học 10 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 3 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho tam giác đều ABC cạnh a.

Quảng cáo

a) Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA² + MB² + MC² theo a.

b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA² + NB² + NC² nhỏ nhất.

Lời giải

Giải bài 3 trang 99 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.

Ta có: MA² + MB² + MC²

= ${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

= ${(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$

= $({\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2}) + ({\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2}) + ({\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2})$

= $3 {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2}$

= $3 M O^{2} + O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} + 2 \vec{M O} . (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

Lại có:

+ O là trọng tâm tam giác đều ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

R = OA = OB = OC = MO = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Khi đó: MA² + MB² + MC² = $3. \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{3} + 2.0 = 2 a^{2}$ .

b) Ta có: NA² + NB² + NC²

= ${\vec{N A}}^{2} + {\vec{N B}}^{2} + {\vec{N C}}^{2}$

= ${(\vec{N O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{N O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{N O} + \vec{O C})}^{2}$

= ${\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{N O}}^{2} + 2 \vec{N O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$