Giải bài 3 trang 99 SGK hình học 10

---

---

Ôn tập cuối năm hình học 10

Video Giải Bài 3 trang 99 SGK Hình học 10 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 3 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho tam giác đều ABC cạnh a.

a) Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA² + MB² + MC² theo a.

b) Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA² + NB² + NC² nhỏ nhất.

Lời giải

a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.

Ta có: MA² + MB² + MC²

= ${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2$

= $\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2\right)+\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2\right)+\left({\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^2\right)$

= $3{\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2$

= $3M{O}^2+O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2+2\overrightarrow{MO}.\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

Lại có:

+ O là trọng tâm tam giác đều ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

R = OA = OB = OC = MO = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Khi đó: MA² + MB² + MC² = $3.\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{3}+2.0=2a^2$.

b) Ta có: NA² + NB² + NC²

= ${\overrightarrow{NA}}^2+{\overrightarrow{NB}}^2+{\overrightarrow{NC}}^2$

= ${\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2$

= ${\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^2$

= $3{\overrightarrow{NO}}^2+2\overrightarrow{NO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2$

= 3NO² + OA² + OB² + OC² (vì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$)

= 3NO² + 3R²

Ta có: NA² + NB² + NC² ngắn nhất

⇔ NO² ngắn nhất vì R không đổi

⇔ NO ngắn nhất

⇔ N là hình chiếu của O trên d.

Xem thêm các bài giải Ôn tập cuối năm hình học 10:

• Bài 1 (trang 98 SGK Hình học 10): Cho hai vectơ ...

• Bài 2 (trang 98 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC và hai điểm M, N...

• Bài 4 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 6cm...

• Bài 5 (trang 99 SGK Hình học 10): Chứng minh rằng trong mọi tam giác ...

• Bài 6 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho các điểm A(2;3), B(9;4), ...

• Bài 7 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC với H là trực tâm ...

• Bài 8 (trang 99 SGK Hình học 10): Lập phương trình đường tròn có tâm ...

• Bài 9 (trang 99 SGK Hình học 10): Cho eclip(E) có phương trình :...

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Ôn tập chương 3
• Ôn tập cuối năm hình học 10

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---

---

---