HĐ3 trang 57 Toán 10 Tập 1 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Giải sgk Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

HĐ3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với $\vec{u} \neq \vec{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ .

d) Hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ bằng nhau.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có:

$|k (t \vec{u})| = |k| |t \vec{u}| = |k| |t| |\vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

và $|(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Suy ra $|k (t \vec{u})| = |(k t) \vec{u}| = |k t| |\vec{u}|$

Do đó hai vectơ $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ có cùng độ dài bằng $|k t| |\vec{u}| .$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Vectơ $(k t) \vec{u}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}$ khi kt ≥ 0. (1)

Nếu t > 0 thì k ≥ 0 (do kt ≥ 0) và $t \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ cùng hướng với $t \vec{u}$ , nên cũng cùng hướng với $\vec{u}$ . (2)

Nếu t < 0 thì k ≤ 0 (do kt ≥ 0) và $t \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $t \vec{u}$ , nên cùng hướng với $\vec{u}$ . (3)

Nếu t = 0 thì $k (t \vec{u})$ và $(k t) \vec{u}$ đều bằng vectơ $\vec{0}$ , do đó cả hai vectơ đều cùng hướng với $\vec{u}$ . (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k (t \vec{u}), (k t) \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ .

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Vectơ $(k t) \vec{u}$ ngược hướng với vectơ $\vec{u}$ khi kt < 0. (5)

Nếu t > 0 thì k < 0 (do kt < 0) và $t \vec{u}$ cùng hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $t \vec{u}$ , nên $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $\vec{u}$ . (6)

Nếu t < 0 thì k > 0 (do kt < 0) và $t \vec{u}$ ngược hướng với $\vec{u}$ . Từ đó suy ra $k (t \vec{u})$ cùng hướng với $t \vec{u}$ , nên $k (t \vec{u})$ ngược hướng với $\vec{u}$ . (7)