13 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Với 13 bài tập trắc nghiệm Tích của một vectơ với một số Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.

13 Bài tập Tích của một vectơ với một số (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k như thế nào thì vectơ $k\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

A. k = 1;    

B. k = 0;   

C. k < 0;   

D. k > 0.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Tích của một vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu $k\overrightarrow{a}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Câu 2: Cho vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. k(t$\overrightarrow{a}$) = (kt)$\overrightarrow{a}$;

B. (k + t)$\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{a}$ + t$\overrightarrow{b}$;

C. k$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$ = k$\overrightarrow{a}$ + k$\overrightarrow{b}$;

D. (-1)$\overrightarrow{a}$ = -$\overrightarrow{a}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có (k + t)$\overrightarrow{a}$ = k$\overrightarrow{a}$ + t$\overrightarrow{a}$. Do đó B sai.

Câu 3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. k < 0   

B. k = 1   

C. 0 < k < 1   

D. k > 1

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.

Ta có $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}$ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$. Suy ra k = 2 > 1.

Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.

Câu 4. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$.

A. K là trung điểm của AB

B. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

C. K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IB với I là trung điểm của AB.

D. K là điểm nằm giữa I và A thỏa mãn IK = $\frac{1}{3}$ IA với I là trung điểm của AB.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

Xét đẳng thức: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IA}+2\left(\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\overrightarrow{KI}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{KI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{IB}$ hay $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IB}$

Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn $IK=\frac{1}{3}IB$.

Câu 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$. Tính S = a + 2b.

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{3}{2}.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

⇒ a = $\frac{1}{2}$, b = $\frac{1}{2}$.

⇒ S = a + 2b = $\frac{1}{2}$ + 2.$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{3}{2}$.

Vậy S = $\frac{3}{2}$.

Câu 6: Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị $\overrightarrow{MG}$ thông qua hai vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

A. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$;

D. $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{NG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{NG}=-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Câu 7. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

A. M là trung điểm của đoạn thẳng GC;

B. M nằm giữa G và C sao cho GM = 4GC;

C. M nằm ngoài G và C sao cho GM = 4GC;

D. M nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là D

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Xét $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+2\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 4\overrightarrow{MG}=-\overrightarrow{GC}$

$\iff \overrightarrow{GM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$.

Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC$.

Câu 8. Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

A. x = 1, y = 2, z = 2, t = -1;

B. x = 1, y = 2, z = -2, t = 3;

C. x = 1, y = 2, z = -2, t = -1;

D. x = 1, y = -2, z = 2, t = -3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là B

Ta có hình vẽ sau:

Xét hình bình hành OABC, có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{u}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OMNP, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{v},\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b},\overrightarrow{OP}=-2\overrightarrow{a}$

Khi đó, ta có:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Câu 9. Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$AC. Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$.

A. M là trung điểm BC;

B. M là đỉnh hình chữ nhật AEFM;

C. M là đỉnh hình bình hành EAFM;

D. M là đỉnh tam giác đều BEM.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị $\overrightarrow{AM}$ (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với $\overrightarrow{MA}+3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)+2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff 6\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = $\frac{1}{3}$ AC nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và  $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vì vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$.

Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.

Câu 10. Biết rằng hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương nhưng hai vectơ $5x\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ và $\left(3x-2\right)\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:

A. $\frac{4}{11}$;

B. $\frac{2}{3}$;

C. 4;

D. -4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là A

Vectơ $5x\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$ và $\left(3x-2\right)\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)

⇔ 5x = -6x + 4

⇔ 11x = 4

⇔ x = $\frac{4}{11}$.

Vậy x = $\frac{4}{11}$.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho bốn điểm $A,B,C,D$ có $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$.

a)$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

b)$\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}\text{.}$

c)$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$.

d)$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\text{.}$

Hiển thị đáp án

a) Đúng. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

b) Đúng. Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$. (1)

d) Đúng. Ta lại có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$. (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

$2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+$$\left(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}\right)$.

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $\hat{A}=30°,AB=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Khi đó, ta tính được $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|$ bằng $\frac{a\sqrt{m}}{3}$. Xác định m.

Hiển thị đáp án

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có:

$\tan A=\frac{BC}{AB}$$\Rightarrow BC=AB\cdot \tan A=a\tan 30°=\frac{a\sqrt{3}}{3}$,

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{AM}\right|=2\left|\overrightarrow{AM}\right|$$=2AM=2\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}$$=2\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{39}}{3}.$

Vậy $m=39$.

Đáp án: 39.

Câu 2. Một vật đang ở vị trí $O$ chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$, trong đó độ lớn lực $\overrightarrow{F_2}$ lớn gấp đôi độ lớn lực $\overrightarrow{F_1}$. Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào vật hai lực $\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có phương hợp với lực $\overrightarrow{F_1}$ các góc $45°$ như hình vẽ, chúng có độ lớn bằng nhau và bằng $20N$. Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hiển thị đáp án

Ta có $\overrightarrow{F_2}=-2{\overrightarrow{F}}_1$.

Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng $\overrightarrow{0}$

$\iff {\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4=\overrightarrow{0}$$\iff {\overrightarrow{F}}_1-2{\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4$$=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{F_3}+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1.$

Đặt ${\overrightarrow{F}}_1=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB},{\overrightarrow{F}}_3=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{OD}$.

Ta có ${\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1\iff \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}$. Do đó $OCAD$ là hình bình hành.

Mặt khác $OC=OD=20$ và $\widehat{COD}=45°+45°=90°$ nên $OCAD$ là hình vuông.

Khi đó $\left({\overrightarrow{F}}_1\right)=OA=20\sqrt{2}\text{N},\left(\overrightarrow{F_2}\right)=2\left({\overrightarrow{F}}_1\right)$$=40\sqrt{2}\text{N}\approx \text{56,6 N}$.

Đáp án: 56,6.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 4

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---