13 Bài tập Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là D

Ta có $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.$ Khi đó toạ độ của $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{u}$(-5; 6).

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow{BC}$ = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}.$

Đáp án đúng là A

Ta có hai vecto $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{OB}\left(3;3\right)$ không cùng phương  (vì $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{MB}\left(3-x;3-y\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}2=3-x\\ 1=3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow M\left(1;2\right).$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Đáp án đúng là B

Ta có M(1;3) $\Rightarrow \overrightarrow{OM}\left(1;3\right)\Rightarrow OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Ta lại có N(4;2) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}\left(4;2\right)\Rightarrow ON=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(-3;1\right)\Rightarrow MN=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}=\sqrt{10}$

Xét tam giác OMN, có: $OM=MN=\sqrt{10}$ nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: $O{N}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=20,$$O{M}^2+M{N}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$

$\Rightarrow O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Đáp án đúng là C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

⇒ G(-12; -1).

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(0-(-3x);-2+y-(-1)\right)=\left(3x;-1+y\right)$

Để $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}3x=4\\ -1+y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=0\end{array}\right.$.

Vậy x = $\frac{4}{3}$, y = 0.

Đáp án đúng là

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}-\left(k-\frac{1}{3}\right);k-2-5\right)=\left(1-k;k-7\right)$,

$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{2}{3}-\left(-2\right);k-2-12\right)=\left(\frac{8}{3};k-14\right)$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương

$\iff \frac{1-k}{\frac{8}{3}}=\frac{k-7}{k-14}$

⇔ (1 – k)(k – 14) = $\frac{8}{3}$(k – 7)

⇔ - k² + 15k – 14 = $\frac{8}{3}$k – $\frac{56}{3}$

⇔ - 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Đáp án đúng là A

Độ dài của vectơ $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(3x-3\right)}^2}=\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}$.

Độ dài của vectơ $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Suy ra độ dài của vectơ 2$\left|\overrightarrow{v}\right|=2.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{5}$.

Để $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = 2$\left|\overrightarrow{v}\right|$  thì $\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}=2\sqrt{5}$

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x+3=4\\ 3x+3=-4\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x=1\\ 3x=-7\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-\frac{7}{3}\end{array}\right.$

Ta thấy các giá trị $\frac{1}{3}$ hay $-\frac{7}{3}$ đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow{MN}\left(-1;-4\right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow{MF}\left(x-3;y+1\right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ hay $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{-4}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Đáp án đúng là A

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ = (-1; 4)

Gọi tọa độ của điểm A là A(x_A; y_A). Khi đó $\overrightarrow{PA}\left(x_A-2;y_A+3\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ (tính chất đường trung bình)

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_A-2=-1\\ y_A+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=1\end{array}\right.$

⇒ A(1; 1).

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt là B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C).

Vì P là trung điểm của AB nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2.2-1\\ y_B=2.\left(-3\right)-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=3\\ y_B=-7\end{array}\right.$

⇒ B(3; -7).

Vì N là trung điểm của AC nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=2.\left(-1\right)-1\\ y_C=2.5-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-3\\ y_C=9\end{array}\right.$

⇒ C(-3; 9).

Khi đó tọa độ trọng tâm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+3+\left(-3\right)}{3}\\ y_G=\frac{1+\left(-7\right)+9}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1}{3}\\ y_G=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};1\right)$.

a) Đúng.$\overrightarrow{AC}=\left(4\sqrt{3};4\right)$$\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2+4^2}=8$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4\sqrt{3};4\right)$$\Rightarrow AB=\sqrt{{\left(-4\sqrt{3}\right)}^2+4^2}=8$.

Ta thấy $AB=AC=8$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Lại có

$\overrightarrow{BC}=\left(8\sqrt{3};0\right)$$\Rightarrow BC=\sqrt{{\left(8\sqrt{3}\right)}^2+0^2}$$=8\sqrt{3}\Rightarrow BC\ne AB$

Vậy tam giác $ABC$ không cân tại $B$.

c) Đúng. Chu vi tam giác

$ABC:2p=AB+AC+BC$$=8+8+8\sqrt{3}=8\left(2+\sqrt{3}\right)$.

Nửa chu vi tam giác là $p=4\left(2+\sqrt{3}\right)$.

Diện tích tam giác:

$S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$$=16\sqrt{3}$.

d) Đúng. Ta có

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}$$=\frac{8^2+8^2-{\left(8\sqrt{3}\right)}^2}{2\cdot 8\cdot 8}$$=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAC}=120°.$

 Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30°$.

Ta có $E\left(x;y\right)$ 

nên $\overrightarrow{AE}=\left(x-2;y-2\right),$$\hspace{0.17em}\overrightarrow{AB}=\left(-1;-5\right),$$\overrightarrow{AC}=\left(-5;-2\right)$.

Suy ra $-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=\left(-13;4\right)$.

Do đó

$\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$$\iff \left\{\begin{array}{c}x-2=-13\\ y-2=4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=6\end{array}\right.\right.$$\Rightarrow 7x+5y=-47.$

Đáp án:  −47.

Ta có

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+3=5m-3\\ 2m=m^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-5m+6=0\\ m^2-2m=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=3\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=2\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow m=2.$

Đáp án: 2.