13 Bài tập Các khái niệm mở đầu (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là A

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng nằm trên một đường thẳng hay chúng có giá trùng nhau nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ nằm trên hai đường thẳng song song hay chúng có giá song song nhau nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ nằm trên hai đường thẳng song song hay chúng có giá song song nhau nên $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ là hai vectơ cùng phương. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{e}$ và $\overrightarrow{c}$ không cùng phương.

Vậy các cặp vec tơ cùng hướng là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Đáp án đúng là D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, cũng là trung điểm của BD.

⇒ AO = OC = $\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4cm.$

⇒ BO = OD = $\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm.$

Xét tam giác AOB vuông tại O, có:

AB² = AO² + BO² (định lí Py – ta – go)

⇔ AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ AB = 5 (cm)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=5cm.$

Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}$ là 5cm.

Đáp án đúng là D

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương. Do đó $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

Mặt khác AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.

Đáp án đúng là D

+) Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$BC

Mà BP = PC = $\frac{1}{2}$BC (P là trung điểm của BC)

⇒ MN = CP = PB (1)

Vì MN // BC nên MN // CP. Khi đó $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PC}$ cùng phương. Suy ra $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PC}$ cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{CP}$. Do đó đáp án A đúng.

Tương tự MN //BC hay MN // PB. Khi đó $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PB}$ cùng phương nhưng ngược hướng (3)

Từ (1) và (3) suy ra $\overrightarrow{MN}$ không bằng $\overrightarrow{PB}$. Do đó đáp án D sai.

+) Ta có $\overrightarrow{AA}$ và $\overrightarrow{PP}$ là các vectơ – không.

Mà mọi vectơ – không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau

Suy ra $\overrightarrow{AA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{PP}$. Do đó đáp án B đúng.

+) Hai vec tơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$. Do đó đáp án C đúng.

Đáp án đúng là C

Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí Py – ta – go)

⇔ BC² = 2² + 7² = 4 + 49 = 53

⇔ BC = $\sqrt{53}$ cm

Ta lại có M là trung điểm BC

⇒ AM = $\frac{1}{2}$ BC (tính chất đường trung tuyến)

⇒ AM = $\frac{\sqrt{53}}{2}$ cm.

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\frac{\sqrt{53}}{2}cm$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\frac{\sqrt{53}}{2}cm.$

Đáp án đúng là A

Vectơ có điểm đầu là P và điểm cuối là Q được kí hiệu là $\overline{PQ}$.

Đáp án đúng là A

Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi hai vectơ cùng hướng và độ dài bằng nhau.

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD hay hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và cùng độ dài

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Do đó A đúng.

Hai vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{DO}$ có giá trùng nhau nên cùng hướng và OB = DO (O là trung điểm của BD).

Suy ra $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$. Do đó đáp án B đúng.

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ có giá trùng nhau nhưng ngược hướng và OA = OC (O là trung điểm của AC).

Suy ra $\overrightarrow{OA}$ không bằng $\overrightarrow{OC}$. Do đó đáp án C sai.

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // CB và CB = DA hay hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DA}$ cùng hướng và cùng độ dài

Suy ra $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là B

Độ dài cạnh của hình vuông là: 12:4 = 3.

Khi đó MN = NP = PQ = MQ = 3

Xét tam giác MQP vuông tại Q, có:

MP² = MQ² + QP² (định lí Py – ta – go)

⇔ MP² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18

⇔ MP = $3\sqrt{2}$

⇒ $\left|\overrightarrow{MP}\right|=MP=3\sqrt{2}.$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{MP}$ là $3\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là D

Các vectơ (khác vectơ không) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}.$

Vậy tổng có 6 vectơ.

a) Sai. Do $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN=\frac{1}{2}BC$ và $MN\text{//}BC$.

b) Đúng. Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $N$ nên $MP=2MN=BC$.

Do đó $\left(\overrightarrow{MP}\right)=\left(\overrightarrow{BC}\right)$. (1)

c) Sai. Xét nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $C$, ta có $N$ là trung điểm $AC$ nên $N$ và $C$ cùng phía $AB$ hay cùng phía $MB$, mà $MN\text{//}BC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

d) Đúng. Ta có $P$ đối xứng $M$ qua $N$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng, dễ thấy $\overrightarrow{MN}\ne \overrightarrow{0}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng. (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{u}$ khác vectơ không và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BD}$ nên $\overrightarrow{u}$ là một trong hai vectơ $\overrightarrow{BO},\overrightarrow{OD}$.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác

$ABD$: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=3+1=4\Rightarrow BD=2$.

Vì vậy $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=\frac{BD}{2}=1$

Đáp án: 1.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}$$=\frac{2}{3}\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra $MI=AG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Khi đó, $\left|\overrightarrow{BI}\right|=BI=\sqrt{B{M}^2+M{I}^2}$$=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$.

Vậy $m=21$.

Đáp án: 21.