15 Bài tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: A

Các hệ bất phương trình  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4x+3y-1\ge 0\\ x+y^3>0\end{array}\right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}-x^2+3y\ge 5\\ x+y^3\le 1\end{array}\right.$  đều chứa các bất phương trình bậc hai hoặc bậc ba như : x² + 3y ≥ 2 ; x + y³ > 0 ; – x² + 3y ≥ 5.

Do đó, các hệ bất phương trình  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4x+3y-1\ge 0\\ x+y^3>0\end{array}\right.$ ;  $\left\{\begin{array}{l}-x^2+3y\ge 5\\ x+y^3\le 1\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ $\left\{\begin{array}{l}x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$ có hai bất phương trình x + 3y ≥ 0 và 2x ≤ 0 đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: A

+ Vì –0 + 3.0 = 0 và 2.0 = 0 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của cả hai bất phương trình –x + 3y ≥ 0 và 2x ≤ 0.

Suy ra điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$.

Vậy khẳng định A là đúng.

+ Vì –1 + 3.0 = –1 < 0 và 2. (–1)  = –2 < 0 nên cặp số (1 ; 0) không là nghiệm của bất phương trình –x + 3y ≥ 0.

Suy ra điểm M(1 ; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$.

Vậy khẳng định B là sai.

+ Vì –0 + 3. (–1) = –3 < 0 và 2. 0  = 0 nên cặp số (0; –1) không là nghiệm của bất phương trình –x + 3y ≥ 0.

Suy ra điểm N(0 ; –1) không thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$.

Vậy khẳng định C là sai.

+ Vì –1 + 3. 1 = 2 > 0 và 2. 1  = 2 > 0 nên cặp số (1; 1) không là nghiệm của bất phương trình 2x ≤ 0.

Suy ra điểm P(1; 1) không thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$.

Vậy khẳng định D là sai.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -1\\ y^2-1\le 0\end{array}\right.$ chứa bất phương trình bậc hai y² – 1 ≤ 0 nên hệ này không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định A đúng.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1+y\\ 5x+y<0\end{array}\right.$ chứa hai bất phương trình x ≥ 1 + y và 5x + y < 0 đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ này là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định B đúng.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}x+1+y>0\\ x^2+y<0\end{array}\right.$ chứa bất phương trình bậc hai x² + y < 0 nên hệ này không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định C sai.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+2y<7\\ x+3y\le 0\end{array}\right.$chứa hai bất phương trình $\frac{1}{2}x+y<7$ và x + 3y ≤ 0 đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên hệ này là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

+ Ta có : –0 + 2.1 = 2 và 2.0 + 1 = 1 > –1.

Do đó cặp số (0; 1) không là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ –1.

Vậy nên cặp số (0; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm M(0; 1) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$

+ Ta có : –(–1) +2.1 = 3 > 2 và 2.(–1) + 1 = –1.

Do đó cặp số (–1; 1) là nghiệm của cả hai bất phương trình –x + 3y ≥2 và 2x + y ≤ –1.

Vậy nên, cặp số (–1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm N(–1; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$.

+ Ta có : –(–1) + 2.4 = 9 > 2 và 2.(–1) + 4 = 2 > –1.

Do đó cặp số (–1; 4) không là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ –1.

Vậy nên cặp số (–1; 4) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm P(–1; 4) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$

+ Ta có : –1 + 2.3 = 5 > 2 và 2.1 + 3 = 5 > –1.

Do đó cặp số (1; 3) không là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ –1.

Vậy nên cặp số (1; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm Q(1; 3) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$

Vậy điểm N(–1; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho nên ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có : –3. (–1)  + 2 = 5 > –2 và –1 + 2.2 = 3 > 1.

Do đó cặp số (–1 ; 2) không là nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 1.

Vậy nên cặp số (–1 ; 2) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm M(–1 ; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

+ Ta có : –3. 0 +  (–1)= –1 > –2 và 0 + 2. (–1) = –2 < 1.

Do đó cặp số (0; –1) là nghiệm của cả hai bất phương trình –3x  + y > –2 và x + 2y ≤ 1.

Vậy nên cặp số (0; –1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm M(0; –1)  thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

+ Ta có : –3. 0  + 0 = 0 > –2 và 0 + 2.0 = 0 < 1.

Do đó cặp số (0 ; 0) là nghiệm của cả hai bất phương trình –3x  + y > –2 và x + 2y ≤ 1.

Vậy nên cặp số (0 ; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

Suy ra điểm O(0 ; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

Vậy hai điểm M(0; –1)  và O(0 ; 0) thuộc miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$.

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có : 0 – (–3)= 3 > 1 và 0 + 3. (–3) < 3.0 – 4  (–9 < –4) là mệnh đề đúng.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của bất phương trình x  – y  ≤ –1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 1\\ x+3y\le 3x-4\end{array}\right.$.

+ Ta có : 2.0 – (–3)= 3 > 0 và 2.0 + (–3) = – 3 < 1.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của bất phương trình 2x  + y  > 1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y>0\\ 2x+y>1\end{array}\right.$.

+ Ta có : –0 – 4.(–3)= 12 > – 3 và 2.0 + (–3) = – 3 < 2.

Do đó cặp số (0; –3) là nghiệm của cả hai bất phương trình –x –4y > –3 và 2x  + y  ≤ 2.

Vậy nên cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x-4y>-3\\ 2x+y\le 2\end{array}\right.$.

+ Ta có : 2.0 – (–3)= 3 > – 3 và 5. (–3) = – 15 <– 1.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của cả hai bất phương trình 2x  – y  ≤ –3 và 5y ≥ –1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y\le -3\\ 5y\ge -1\end{array}\right.$.

Vậy nên cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x-4y>-3\\ 2x+y\le 2\end{array}\right.$

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: C

+ Ta có : 2.1 = 2 > 1 và 2. 1 + 5. 0 = 2 < 3.

Do đó cặp số (1; 0) không là nghiệm của bất phương trình 2x  ≤ 1.

Suy ra cặp số (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x\le 1\\ 2x+5y<3\end{array}\right.$.

Vậy nên, điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x\le 1\\ 2x+5y<3\end{array}\right.$

+ Ta có : 2. (–2) = –4 < 1 và 2. (–2) + 5. (–1) = –9 < 3.

Do đó cặp số (–2; –1) là nghiệm của của hai bất phương trình 2x  ≤ 1 và 2x + 5y < 3.

Suy ra cặp số (–2; –1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x\le 1\\ 2x+5y<3\end{array}\right.$.

Vậy nên, điểm N(–2; –1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2x\le 1\\ 2x+5y<3\end{array}\right.$.

Do đó điểm M không thuộc miền nghiệm, điểm N thuộc miền nghiệm của hệ đã cho. Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

+ Ta có 0 – 1=  –1 < 0 nên điểm (0 ; 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x – y < 0 .

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x – y = 0, chứa điểm (0; 1) (không chứa bờ).

+ Ta có 0 + 3.0 = 0 > –1 nên điểm O(0 ; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + 3y > –1 .

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + 3y > –1 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + 3y = –1, chứa điểm O (không chứa bờ).

+ Ta có 0 + 0 = 0 < 3 nên điểm O(0 ; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình x + y < 3.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y < 3 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 3, chứa điểm O (không chứa bờ).

Ta có hình ảnh biểu diễn miền nghiệm của hệ là miền không gạch chéo trong hình sau:

Do đó ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng x – y = –2 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

Xét điểm O(0; 0), ta có : 0 – 0 = 0 > –2 .

Mặt khác điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm. Do đó ta có bất phương trình thứ nhất của hệ là x – y > –2.

Đường thẳng 2x – y = 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

Xét điểm O(0; 0), ta có : 2.0 – 0 = 0 < 1 .

Mặt khác điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm. Do đó ta có bất phương trình thứ hai của hệ là 2x – y < 1.

Suy ra hệ cần tìm là: $\left\{\begin{array}{l}x-y>-2\\ 2x-y<1\end{array}\right.$

Ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\ge 2\\ y-x\le 4\\ x+2y\ge 5\end{array}\right.$

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ đã cho trên mặt phẳng tọa độ, ta được hình ảnh sau:

Khi đó miền tam giác EGH (bao gồm cả biên) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Các đỉnh E, H, G có tọa độ: E(–1; 3); H($\frac{1}{5}$; $\frac{12}{5}$); G(2; 6).

Ta tính giá trị của F = –x + y  tại các đỉnh của tam giác EGH.

Tại E(–1; 3) ta có F = –(–1) + 3 = 4;

Tại H($\frac{1}{5}$; $\frac{12}{5}$) ta có F = – $\frac{1}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{11}{5}$;

Tại G(2; 6) ta có F = –2 + 6 = 4.

Suy ra F nhỏ nhất bằng $\frac{11}{5}$ tại H($\frac{1}{5}$; $\frac{12}{5}$), tức là F_min = $\frac{11}{5}$.

Ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ đã cho trên mặt phẳng tọa độ, ta được hình ảnh sau:

Khi đó miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Các đỉnh O, A, B, C có tọa độ: O(0; 0); A(1; 0); B($\frac{2}{3}$; $\frac{-2}{3}$); C(0; –1).

Ta tính giá trị của F = 2x + y  tại các đỉnh của tứ giác OABC.

Tại O(0; 0) ta có F = 2.0 + 0  = 0;

Tại A(1; 0) ta có F = 2.1 + 0  = 2;

Tại B $\left(\frac{2}{3};\frac{-2}{3}\right)$ ta có F = 2.$\frac{2}{3}$ + $\frac{-2}{3}$ = $\frac{2}{3}$;

Tại C(0; –1) ta có F = 2.0 + (–1) = –1;

Suy ra F = 2x + y  nhỏ nhất tại C(0; –1), với F_min  = –1.

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Do x, y lần lượt là số sào đất trồng rau cả và cà chua nên hiển nhiên ta có: x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số tiền dùng để mua hạt giống cho x sào đất trồng rau cải là : 100x nghìn đồng.

Số tiền dùng để mua hạt giống cho y sào đất trồng cà chua là : 50y nghìn đồng.

Tổng số tiền người nông dân dùng mua hạt giống là: 100x + 50y nghìn đồng.

Do người nông dân chỉ có tối đa 900 nghìn đồng để mua hạt giống nên ta có :

100x + 50y ≤ 900 ⇔ 2x + y ≤ 18.

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả ràng buộc đối với x, y là : $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 18\end{array}\right.$.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ đã cho trên mặt phẳng tọa độ, ta được hình ảnh sau:

Khi đó miền tam giác ABC (bao gồm các cạnh) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Các đỉnh A, B, C có tọa độ: A(0; 1); B(0; –2); C$\left(\frac{3}{5};\frac{2}{5}\right)$.

Ta tính giá trị của P = x – y tại các đỉnh của tam giác tam giác ABC.

Tại A(0; 1) ta có P = 0 – 1= – 1;

Tại B(0; –2) ta có P = 0 – (– 2) = 2;

Tại C$\left(\frac{3}{5};\frac{2}{5}\right)$ ta có P = $\frac{3}{5}$ – $\frac{2}{5}$ = $\frac{1}{5}$;

Suy ra P = x – y lớn nhất bằng 2 tại B(0; –2).

Do đó ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

+ Ta có 0 – 1 = –1 < 1 nên (0; 1) không là nghiệm của bất phương trình x – y > 1.

Do đó (0; 1) không là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x-y>1\\ \frac{1}{3}x-y\le 2\end{array}\right.$.

Suy ra (0; 1) ∉ S. Vậy khẳng định A là sai.

+ Ta có 0 – (– 1) = 1 nên (0; –1) không là nghiệm của bất phương trình x – y > 1.

Do đó (0; –1) không là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x-y>1\\ \frac{1}{3}x-y\le 2\end{array}\right.$.

Suy ra (0; –1) ∉ S. Vậy khẳng định B là đúng.

+ Ta có $\frac{1}{3}$ – 1 = $-\frac{2}{3}$< 1 nên ($\frac{1}{3}$; 1) không là nghiệm của bất phương trình x – y > 1.

Do đó ($\frac{1}{3}$; 1) không là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x-y>1\\ \frac{1}{3}x-y\le 2\end{array}\right.$.

Suy ra ($\frac{1}{3}$; 1) ∉ S. Vậy khẳng định C là sai.

+ Ta có $\frac{1}{3}$ – ($-\frac{5}{3}$)= 2 > 1 và $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}-(-\frac{5}{3})=\frac{16}{9}<2$ nên ($\frac{1}{3}$; $-\frac{5}{3}$) là nghiệm của cả hai bất phương trình x – y > 1 và $\frac{1}{3}x-y\le 2$.

Do đó ($\frac{1}{3}$; $-\frac{5}{3}$) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x-y>1\\ \frac{1}{3}x-y\le 2\end{array}\right.$.

Suy ra ($\frac{1}{3}$; $-\frac{5}{3}$) ∈ S. Vậy khẳng định D là sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm I, y (kg) là khối lượng sản phẩm II mà công ty sản xuất. Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu A cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm I là 2x (kg).

Số nguyên liệu A cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm II là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự, số nguyên liệu B cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm I là 2x (kg).

Số nguyên liệu B cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm II là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 2x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 12 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + 2y ≤ 12, tức là x + y ≤ 6.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 8\\ x+y\le 6\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau :

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OMPN (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; M (0 ; 6) ; P(2 ; 4) ; N(4 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị : triệu đồng) , ta có :

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại I là : 10x (triệu đồng) .

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại II là : 20y (triệu đồng).

Khi đó F = 10x + 20y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OMPN:

Tại O (0 ; 0) : F = 10.0 +20.0 = 0 ;

Tại M(0 ; 6) : F = 10 . 0 + 20 . 6 = 120 ;

Tại P(2 ; 4) : F = 10 . 2 + 20 . 4= 90;

Tại N(4 ; 0): F = 10 . 4 + 20 . 0 = 40.

F đạt lớn nhất bằng 120 tại M(0 ; 6).

Vậy công ty nên sản xuất 0 kg sản phẩm loại I và 6 kg sản phẩm loại II để thu về tiền lãi lớn nhất.

Ta chọn đáp án D.