13 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai (Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án) - Kết nối tri thức

Đáp án đúng là C

Tập xác định D = ℝ, đặt t = x² + x + 1 (t ≥ 0).

Phương trình đã cho trở thành $\sqrt{t+3}+\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}$ ⇔ 2t + 3 + 2$\sqrt{t\left(t+3\right)}$ = 2t + 7

⇔ $\sqrt{t\left(t+3\right)}$ = 2

⇔ t(t + 3) = 4

⇔ t² + 3t – 4 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn.

Với t = 1 ta có x² + x + 1 = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}\right.$.

Thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = -1 vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tích các nghiệm của phương trình (-1).0 = 0.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình 5x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le \frac{3-\sqrt{29}}{5}\\ x\ge \frac{3+\sqrt{29}}{5}\end{array}\right.$

$\sqrt{5x^2-6x-4}$ = 2(x - 1) ⇔ $\left\{\begin{array}{l}2\left(x-1\right)\ge 0\\ 5x^2-6x-4=4{\left(x-1\right)}^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2+2x-8=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Đáp án đúng là: D

$\sqrt{3x+13}$ = x + 3

⇒ 3x + 13 = x² + 6x + 9

⇒ x² + 3x – 4 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = -4.

Thay hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho nghiệm là x = 1.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình x² + 5 ≥ 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1\ge 0\\ x^2+5={\left(x^2-1\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ x^4-3x^2-4=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}{x}^2=-1\left(VL\right)\\ x^2=4\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3-x+x^2\ge 0\\ 2+x-x^2\ge 0\end{array}\right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Ta có $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 3-x+x^2=1+2+x-x^2+2\sqrt{2+x-x^2}\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 2+x-x^2+\sqrt{2+x-x^2}-2=0\left(1\right)\end{array}\right.$.

Đặt $\sqrt{2+x-x^2}$ = t(t ≥ 0)

Từ (1) ta có phương trình t² + t – 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 => x² - x - 1= 0 ⇔ x = $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\ge -\frac{13}{4}\\ x\ge -4\end{array}\right.$⇔ x ≥ 1

Ta có: $\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}$ = $\sqrt{3x+12}$

⇒ 2$\sqrt{4x^2+17x+13}$ = -2x -2

⇒ 4x² + 17x + 13 = x² + 2x + 1

⇒ 3x² + 15x + 12 = 0

⇒ x = -1 hoặc x = -4

Thay lần lượt hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -1 là thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là B

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình $\sqrt{8-x^2}=\sqrt{x+2}$

⇒ 8 – x² = x + 2

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = -3.

Thay lần lượt hai giá trị vào phương trình đã cho ta thấy x = 2 là thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện của phương trình: x² – 4x – 12 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge 6\\ x\le -2\end{array}\right.$

$\sqrt{x^2-4x-12}$ = x - 4 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ x^2-4x-12=x^2-8x+16\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 6\\ 4x-28=0\end{array}\right.$⇔ x = 7

Vậy phương trình có 1 nghiệm

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình: 2x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge \frac{3+\sqrt{17}}{2}\\ x\le \frac{3-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

$\sqrt{2x^2-6x-4}$ = x - 2 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ 2x^2-6x-4={\left(x-2\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x^2-2x-8=0\end{array}\right.$⇔ x = 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -$\frac{7}{2}$

$\sqrt{2x+7}$ = x - 4 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ 2x+7={\left(x-4\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x^2-10x+9=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=9\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 9.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 9 ∈ [7; 9].

Đáp án đúng là C.

Đáp  án đúng là: A

Điều kiện của phương trình : – x² + 6x – 5 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5

Ta có: $\sqrt{-x^2+6x-5}$ = 8 - 2x

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ -x^2+6x-5={(8-2x)}^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ -5x^2+38x-69=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}1\le x\le 4\\ \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=\frac{23}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 3.

Do đó phương trình không có nghiệm âm. Suy ra k = 0.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -$\frac{7}{2}$

Xét với x = 2 là nghiệm của phương trình

Với x ≠ 2 ta có (x - 2)$\sqrt{2x+7}$ = x² - 4 ⇔ $\sqrt{2x+7}$ = x + 2

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ 2x+7={(x+2)}^2\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x^2+2x-3=0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge -2\\ \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.\end{array}\right.$ ⇔ x = 1

Suy ra phương trình có 2 nghiệm là x = 1; x = 2.

Vậy tổng các nghiệm S = 3.

Đáp  án đúng là: B

Điều kiện của phương trình: $\left\{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ \sqrt{2-x}+3\ne 0\end{array}\right.$⇔ x ≤ 2

Đặt $\sqrt{2-x}$ = t(t ≥ 0) ta có $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}$ = 2 ⇔ t + $\frac{4}{t+3}$ = 2

⇔ t² + t - 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2-x}$ = 1 ⇔ x = 1

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện của phương trình x² – 6x + 6 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge 3+\sqrt{3}\\ x\le 3-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Đặt $\sqrt{x^2-6x+6}$ = t(t > 0)

4$\sqrt{x^2-6x+6}$ = x² - 6x + 9 ⇔ 4t = t² + 3

⇔ t² - 4t + 3 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=3\end{array}\right.$

Với t = 1 ta có phương trình $\sqrt{x^2-6x+6}$ = 1 ⇔ x² - 6x + 5 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=5\end{array}\right.$

Với t = 3 ta có phương trình $\sqrt{x^2-6x+6}$ = 3 ⇔ x² - 6x - 3 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=3+2\sqrt{3}\\ x=3-2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện cả bốn nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện của phương trình: x² + 5x + 2 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\ge \frac{-5+\sqrt{17}}{2}\\ x\le \frac{-5-\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.$

(x + 4)(x + 1) - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6 ⇔ x² + 5x + 4 - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6

Đặt $\sqrt{x^2+5x+2}$ = t(t ≥ 0)

x² + 5x + 4 - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6 ⇔ t² - 3t - 4 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-1\\ t=4\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 4 thỏa mãn

Với t = 4 ta có $\sqrt{x^2+5x+2}$ = 4 ⇔ x² + 5x - 14 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-7\end{array}\right.$

Vậy tích các nghiệm của phương trình là – 14.

a) Đúng. Ta có $x^2+2>0$ đúng $\forall x\in ℝ$.

b) Sai. Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được $5x^2-8x+2=x^2+2$.

Rút gọn ta được $4x^2-8x=0$.

c) Đúng. Giải phương trình nhận được ở ý b) ta được $x=0,x=2$.

Thử lại ta thấy cả hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình (*).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{0;2\right\}$.

d) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0 + 2 = 2.

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn $AD$ là $x\left(0<x<30\right)$ (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn $BD$ là $30-x$ (giây). Do đó, quãng đường $AD$ và $BD$ lần lượt là $13x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$ và $15\left(30-x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Độ dài quãng đường $BC$là: $\sqrt{{370}^2-{120}^2}=350\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên $CD=\sqrt{{\left(13x\right)}^2-{120}^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Mặt khác, $CD=BC-BD=350-15\left(30-x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Do đó, ta có: $\sqrt{{\left(13x\right)}^2-{120}^2}=350-15\left(30-x\right)$.

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện $0<x<30$, ta nhận $x=10$ (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí $C$ và vị trí $D$ là: $350-15\cdot \left(30-10\right)=50\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m)}$.

Đáp án: 50.

Đặt $AB=x>0$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có: $AC=\sqrt{x^2+4}$.

Theo tính chất định lí Thalès, ta có: $\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BD}$$\iff \frac{\sqrt{x^2+16}}{x}=\frac{5}{3}$

$\iff 3\sqrt{x^2+16}=5x$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}5x\ge 0\\ 9\left(x^2+16\right)=25x^2\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}x\ge 0\\ 16x^2=144\end{array}\end{array}\iff x=3.\right.$

Vậy hai vị trí $A, B$ cách nhau $3 m$.

Đáp án: 3.