16 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$ Suy ra hai vecto >$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-1\right).0=1,\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2},\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+0^2}=1.$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=45°.$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}\left(a;0\right)$, $\overrightarrow{BD}\left(-a;a\right)$, $\overrightarrow{AC}\left(a;a\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(0;a\right)$, $\overrightarrow{BA}\left(-a;0\right)$.

Khi đó:

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+0.a=-a^2$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|}=\frac{-a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={135}^0.$ Do đó A sai.

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$> = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0.$ Do đó B đúng

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+a.a=0$. Do đó C sai.

+) $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc khi $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(2x;3x^2-3\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Tổng hai nghiệm là 1 + $\left(-\frac{5}{3}\right)$ = $\frac{3}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{2}{3}.$

Vậy tổng hai nghiệm là $-\frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$\iff {\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Để ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$ thì $c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0\end{array}\right.$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.$

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)=AB.AC.\cos BAC=bc.c\text{osBAC}$

Theo định lí cos, ta có:

$\text{cosBAC=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1.\sqrt{7}+\left(-3\right).\left(-2\right)=\sqrt{7}+6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+1.4=10$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$

Đáp án đúng là C

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IA}$.

Xét $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right).\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)$

$={\overrightarrow{MI}}^2+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IA}$

$={\overrightarrow{MI}}^2+\overrightarrow{MI}.\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}\right)+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IA}$

$={\overrightarrow{MI}}^2+\left(-\overrightarrow{IA}\right).\overrightarrow{IA}$

$={\overrightarrow{MI}}^2-{\overrightarrow{IA}}^2$

$=M{I}^2-I{A}^2$.

Đáp án đúng là C

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(9;-3\right)\Rightarrow AB=\sqrt{9^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{10}.$

$\overrightarrow{AC}\left(9;6\right)\Rightarrow AC=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}.$

$\overrightarrow{BC}\left(0;9\right)\Rightarrow BC=\sqrt{0^2+9^2}=9.$

Ta lại có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.cos\widehat{BAC}$

$\iff 9.9+\left(-3\right).6=3\sqrt{10}.3\sqrt{13}.cos\widehat{BAC}$

$\iff 63=9\sqrt{130}.cos\widehat{BAC}$>

$\iff cos\widehat{BAC}=\frac{7}{\sqrt{130}}\iff \widehat{BAC}\approx 52,13°.$

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta được:

$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\iff \frac{9}{\sin 52,13°}=2R\iff R\approx 5,7$.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Để $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$ thì $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\iff \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0$

Suy ra $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là hai vectơ ngược hướng.

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: $\overrightarrow{AM}\left(-1;m+3\right),\overrightarrow{BM}\left(-5;m-2\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(-1\right).\left(-5\right)+\left(m+3\right).\left(m-2\right)=m^2+m-1.$

Để $\widehat{AMB}={90}^0$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

$\iff m^2+m-1=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Ta thấy $m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) và $m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ (không thỏa mãn)

Vậy $M\left(0;\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Đáp án đúng là A

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2$

$={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

$={\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2$

$=3{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2$

Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ (tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \overrightarrow{MG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{0}=0$

$\Rightarrow M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2.$

Đáp án đúng là C

Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: $\overrightarrow{AH}\left(x+3;y-1\right);\overrightarrow{BC}\left(0;-6\right);\overrightarrow{BH}\left(x-2;y-4\right);\overrightarrow{AC}\left(5;-3\right)$

Vì $AH\perp BC\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\iff \left(x+3\right).0+\left(y-1\right).\left(-6\right)=0\iff y=1.$

Vì $BH\perp AC\Rightarrow \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\iff \left(x-2\right).5+\left(y-4\right).\left(-3\right)=0$

$\iff 5x-10-3y+12=0$

$\iff 5x-3y=-2$

Mà y = 1 $\Rightarrow 5x-3.1=-2\iff x=\frac{1}{5}.$

Suy ra S = 5.$\frac{1}{5}$ + 1 = 2.