13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$ không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$ Suy ra hai vecto >$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$ Suy ra hai vecto $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$ vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-1\right).0=1,\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2},\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+0^2}=1.$

$\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=45°.$

Vậy góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a$\sqrt{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}\left(a;0\right)$, $\overrightarrow{BD}\left(-a;a\right)$, $\overrightarrow{AC}\left(a;a\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(0;a\right)$, $\overrightarrow{BA}\left(-a;0\right)$.

Khi đó:

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+0.a=-a^2$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|}=\frac{-a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)={135}^0.$ Do đó A sai.

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$> = a.0 + a.a = a²

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}=\frac{a^2}{a.a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)={45}^0.$ Do đó B đúng

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a.\left(-a\right)+a.a=0$. Do đó C sai.

+) $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}$ = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc khi $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(1;1\right),\overrightarrow{AC}\left(2x;3x^2-3\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{5}{3}\end{array}\right.$

Tổng hai nghiệm là 1 + $\left(-\frac{5}{3}\right)$ = $\frac{3}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{2}{3}.$

Vậy tổng hai nghiệm là $-\frac{2}{3}.$

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ được tính bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

Vì $\left|\overrightarrow{u}\right|>0,\left|\overrightarrow{v}\right|>0$ nên dấu của $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ phụ thuộc vào dấu của $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

Nếu tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương thì $c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0.$ Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

$\iff {\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Để ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2$ thì $c{\text{os}}^2\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ c\text{os}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^0\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^0\end{array}\right.$

Vậy khi góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là 0⁰ hoặc 180⁰ thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\overrightarrow{u}}^2.{\overrightarrow{v}}^2.$

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.c\text{os}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)=AB.AC.\cos BAC=bc.c\text{osBAC}$

Theo định lí cos, ta có:

$\text{cosBAC=}\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=bc.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}.$

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto $k=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=1.\sqrt{7}+\left(-3\right).\left(-2\right)=\sqrt{7}+6.$

Do đó k là số vô tỉ.

Đáp án đúng là B

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+1.4=10$

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$

a) Sai. Ta có $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$.

b) Sai. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ACM$ nên

$3\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$$=\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$$\Rightarrow \overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, suy ra $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.

d) Sai. Ta có

$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}$$=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)$$=\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^2-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{BC}}^2$

$=\frac{1}{4}\cdot {\left(4a\right)}^2-\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot {\left(3a\right)}^2=a^2.$ ($BC=AD=3a$).

Ta có

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$$=3\cdot 2\cdot \cos 120°=-3$.

${\left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)}^2$$={\overrightarrow{a}}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^2$$={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+4{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2$$=3^2-4\cdot \left(-3\right)+4\cdot 2^2=37$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{37}\approx 6,1$.

Đáp án: 6,1.

Ta có $△ABC$ vuông tại $A$ có $AB=\frac{AC}{\tan B}=\frac{2}{\tan 30°}=2\sqrt{3}.$

Suy ra $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$$=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=4.$

$P=\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}$$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(-AB\cdot BC\cdot \cos B+AC\cdot BC\cdot \cos C\right)$$=\frac{1}{4}\left(-2\sqrt{3}\cdot 4\cdot \cos 30°+2\cdot 4\cdot \cos 60°\right)=-2.$

Đáp án: −2.