15 Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Diện tích của tam giác là:

$S=\sqrt{p\left(p-5\right)\left(p-12\right)\left(p-13\right)}=\sqrt{15\left(15-5\right)\left(15-12\right)\left(15-13\right)}=30$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\iff \cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{6^2+3^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{B}=60°$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin (180°-75°-45°)}{\sin 45°}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow AC=b=\frac{c.\sin B}{\sin C}=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{3.\sin {30}^0}{\sin {45}^0}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a}{2\sin 45°}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}=2R$

Suy ra:

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}\Rightarrow a=\frac{b.\sin A}{\sin B}$. Do đó đáp án A đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}\Rightarrow \sin C=\frac{c.\sin A}{a}$. Do đó đáp án B đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R.\sin A$.Do đó đáp án C đúng.

+ $\frac{b}{\mathrm{sinB}}=2R\Rightarrow \frac{b}{2}=R\sin B\Rightarrow \frac{b}{2\mathrm{cosB}}=R\tan B$. Do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức: $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A$$=\frac{1}{2}\mathrm{.10.20.}\sin 60°$$=50\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\sqrt{6}}^2+{(\sqrt{3}+1)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.(\sqrt{3}+1)}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow$$\widehat{A}$ = 45°.

Do đó: $R=\frac{a}{2\sin A}$$=\frac{2}{2.\sin 45°}$$=\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=8$(cm).

Diện tích tam giác ABC là:$S=\frac{1}{2}AB.AC=24\left(c{m}^2\right)$

Nửa chu vi $p=\frac{6+8+10}{2}=12$ (cm)

Suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2$(cm).

Đáp án đúng là: C

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD.

Tam giác BAH vuông tại H, góc $\widehat{BAH}=\widehat{BAD}=45°$,

Ta có BH = AB.sin45° = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích hình bình hành ABCD là: $S=BH.AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}=a^2$(đvdt).

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a² – c²) = b(b² – c²)

⇔ a³ – b³ – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b² – c²) = 0

⇔ a² + ab + b² – c² = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

⇔ a² + b² – c² = – ab

Ta có $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-ab}{2ab}$$=-\frac{1}{2}$.

Do đó: $\widehat{C}$ = 120°.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)² – c² = 3ab

⇔ c² = a² + b² – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 $\Rightarrow \cos C=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}=60°$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\iff \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\Rightarrow \cos \left(B+C\right)=\cos \left(180°-A\right)=-cosA=-\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \cos A=\frac{1}{5}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\mathrm{cosA}}=\sqrt{7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{1}{5}}=2\sqrt{15}$

Đáp án đúng là: A

Gọi hình bình hành là ABCD, AD = 3, AB = 5

Gọi α là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5

Ta có: $\cos \alpha =\frac{3^2+5^2-5^2}{\mathrm{2.3.5}}=\frac{3}{10}$

⇒ α là góc nhọn

⇒ $\alpha =\widehat{ADC}$

⇒ AC = 5

⇒ $B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2-2.AD.AB.\cos \widehat{BAD}=A{D}^2+A{B}^2+2.AD.AB.\cos \widehat{ADC}$

(vì $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$ bù nhau $\Rightarrow \cos \widehat{BAD}=-\cos \widehat{ADC}$)

⇒ BD² = 3² + 5² + 2.3.5.$\frac{3}{10}$ = 43

⇒ BD = $\sqrt{43}$.