13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là D

Quy tắc ba điểm được phát biểu  như sau: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Đáp án đúng là A

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (quy tắc ba điểm). Do đó D đúng.

Vì G là trọng tâm tam giác nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Do đó B đúng.

Ta có I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Do đó A sai và C đúng.

Đáp án đúng là C

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có AH là đường cao nên AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua H.

Xét tứ giác ABDC có AD cắt BC tại H là trung điểm của mỗi đường. Do đó ABDC là hình bình hành.

⇒ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|$

Ta lại có hình bình hành ABDC có $\widehat{BAC}={90}^0$ nên ABDC là hình chữ nhật do đó AD = BC =10 cm.

⇒ $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=BC=10cm$.

Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là 10 cm.

Đáp án đúng là C

Vectơ $\overrightarrow{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Đáp án đúng là B

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$:

$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}$;

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD  và AB // CD khi đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\ne \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$. Do đó B đúng, A sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC}$:

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB  và AD // CB khi đó $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}\ne \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$. Do đó C sai.

+) Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BD}$:

Vì hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên không bằng nhau. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\ne \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}$. Do đó D sai.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình thoi nên ABCD là hình bình hành khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2.AB.AD.cos$\widehat{BAD}$

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² = 2² + 2² – 2.2.2.cos100°

⇔ BD² ≈ 9,39

⇔ BD ≈ 3,06 dm

⇒ $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=3,06dm.$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$ là 3,06 dm.

Đáp án đúng là D

+) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó A đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Do đó B đúng.

+) O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC. Suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$. Do đó C đúng.

+) Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = 2GA. Suy ra $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GO}\ne \overrightarrow{0}$. Do đó D sai.

Đáp án đúng là D

Xét tổng $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{QR}$

$=\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}\right)+\left(\overrightarrow{RN}+\overrightarrow{NP}\right)$

$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}$

$=\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RP}\right)$

$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PP}$
$=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{MN}$.

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CA}$

Khi đó hai vectơ  $\overrightarrow{DM}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng hướng hay DM // CA, M nằm ở nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ DC và DM = CA. Suy ra ACDM là hình bình hành.

Vậy điểm M là điểm thỏa mãn ACDM là hình bình hành.

Đáp án đúng là C

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}$.

+) Do $\overrightarrow{N\text{D}}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CO}$.

+) Do $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = $\frac{2}{3}$AO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC; CN = $\frac{2}{3}$CO = $\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{3}$AC.

Do đó MN = $\frac{1}{3}$AC.

MO = $\frac{1}{3}$AO = $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{6}$AC.

Khi đó MO = $\frac{1}{2}$MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}$.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}$.

d) Đúng. Do $CARS$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{RA}=\overrightarrow{SC}$.

Do $CARS$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{IB}$.

Khi đó, $\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{IB}$.

Do $BCPQ$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{CP}$.

Khi đó, $\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{CP}$.

Vậy ta có

$\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}$$=\left(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{CP}\right)+\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CS}\right)$

$=\left(\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CS}\right)+\left(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PC}\right)$$=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Giả sử $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$.

Theo quy tắc hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$, như hình vẽ.

Ta có $\widehat{AOB}=60°$, $OA=OB=50$, nên tam giác $OAB$ đều, suy ra $OC=50\sqrt{3}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)=\left(\overrightarrow{OC}\right)$$=50\sqrt{3}\left(\text{N}\right)\approx 86,6\text{(N)}$.

Đáp án: 86,6.

Vật đứng yên nên ba lực đã cho cân bằng. Khi đó ta có $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra $\overrightarrow{F_3}=-\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right)$.

Dựng hình bình hành $AMBN$.

Ta có$-\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MN}$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{F_3}\right)=\left(-\overrightarrow{MN}\right)$$=MN=\frac{2\sqrt{3}MA}{2}=25\sqrt{3}$ (N). Vậy $a=25$.

Đáp án: 25.