15 Bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án) - Kết nối tri thức

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:x-2y+1=0\\ d_2:-3x+6y-10=0\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ -3x+6y-10=0\end{array}\right.$$\iff$$\left\{\begin{array}{l}3x-6y+3=0\\ -3x+6y-10=0\end{array}\right.$$\iff$-7 = 0 (vô lý)

Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm

Vì vậy hai đường thẳng song song.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:3x-2y-6=0\\ d_2:6x-2y-8=0\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x-2y-6=0\\ 6x-2y-8=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}3x-2y=6\\ 3x=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}\\ y=-2\end{array}\right.$

Suy ra hai đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm.

Ta lại có: d₁ có VTPT $\overrightarrow{n_1}$ = (3; -2) và d₂ có VTPT $\overrightarrow{n_2}$= (6; -2).

 $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}$ = 3.6 + (-3).(-2) = 18 + 6 = 24 ≠ 0. Do đó d₁ và d₂ không vuông góc.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Đáp án đúng là: C                 

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:\frac{x}{3}-\frac{y}{4}=1\\ d_2:3x+4y-10=0\end{array}\right.$

Phương trình $d_1$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{4}\right)$

Phương trình $d_2$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(3;4\right)$

Nhận thấy ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2$  = $\frac{1}{3}.3+\left(-\frac{1}{4}\right).4=0$ Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$d_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-2-2t\end{array}\right.$ ;  $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-8+4t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}-1+t=2-2t^{\text{'}}\\ -2-2t=-8+4t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t+2t^{\text{'}}=3\\ -2t-4t^{\text{'}}=-6\end{array}\right.$

$\iff t+2t^{\text{'}}=3$  như vậy phương trình có vô số nghiệm, suy ra hai đường thẳng trùng nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$d_1:\left\{\begin{array}{l}x=-3+4t\\ y=2-4t\end{array}\right.$

$d_2:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-8+2t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}-3+4t=2-2t^{\text{'}}\\ 2-4t=-8+2t^{\text{'}}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4t+2t^{\text{'}}=5\\ -4t-2t^{\text{'}}=-10\end{array}\right.$

⇔ 0 = -5 (Vô lý), hệ vô nghiệm, suy ra hai đường thẳng song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x-y-10=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(2;-1\right)\\ d_2:x-3y+9=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(1;-3\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1;d_2$ Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng

$\cos \phi =\frac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\to \phi ={45}^{\circ }.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:7x-3y+6=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(7;-3\right)\\ d_2:2x-5y-4=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(2;-5\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1;d_2$. Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|14+15\right|}{\sqrt{49+9}.\sqrt{4+25}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =\frac{\pi }{4}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x+2\sqrt{3}y+5=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;\sqrt{3}\right)\\ d_2:y-6=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(0;1\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  $d_1,d_2$ . Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|\sqrt{3}\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{0+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi ={30}^{\circ }.$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:x+\sqrt{3}y=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;\sqrt{3}\right)\\ d_2:x+10=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(1;0\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$,$d_2$ . Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

$\cos \phi =\frac{\left|1+0\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi ={60}^{\circ }.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:6x-5y+15=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(6;-5\right)\\ d_2:\left\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=1+5t\end{array}\right.\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(5;6\right)\end{array}\right.{\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1;d_2$ . Nhận thấy ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2$ = 6.5 + 6.(-5) = 0 suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau nên $\phi ={90}^{\circ }.$

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là: $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|\left.a{x}_0+b{y}_0+c\right|\right.}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

d (M; ∆) = $\frac{\left|3.(-1)-4.1-3\right|}{\sqrt{9+16}}$ = $\frac{10}{5}$ = 2.

Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là 2.

Đáp án đúng là: C

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-3y+4=0\\ 2x+3y-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$ , vậy điểm A (-1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến ∆: 3x + y + 4 = 0:

$d\left(A;\Delta \right)=\frac{\left|3.(-1)+1.1+4\right|}{\sqrt{9+1}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

Vậy khoảng cách giữa giao điểm của hai đường thẳng đến đường thẳng ∆ là $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Đáp án đúng là: A

+) Viết phương trình đường thẳng qua B, C

Ta có: B (0; 3); C (4; 0)$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$= (4; -3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow{n}$ (3; 4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ( $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$ ), suy ra phương trình đường thẳng BC có phương trình: 3.(x – 0) + 4.(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0

+) Độ dài đường cao kẻ từ A

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

$h_A=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|3.1+4.2-12\right|}{\sqrt{9+16}}=\frac{1}{5}$

Đáp án đúng là: B

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1)$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$= (2; -4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ( $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$ ), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay 2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = $\sqrt{{(3-1)}^2+{(1-5)}^2}$ = $\sqrt{20}$ = $2\sqrt{5}$.

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

$h_A=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|2.3+1.(-4)-7\right|}{\sqrt{4+1}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.h_A.BC$= $\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}$  = 5.