18 Bài tập Dấu của tam thức bậc hai (Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án) - Kết nối tri thức

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình f(x) = x² + 12x + 36 = 0 = – 6 và a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là C

Đáp án đúng là: D

Xét x² – 12x – 13 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=13\\ x=-1\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 12x – 13 nhận giá trị âm khi

– 1 < x < 13.

Vậy đáp án đúng là D

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: y = x² – 5x +6 

Xét x² – 5x +6 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=2\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 5x + 6 nhận giá trị âm khi 2 < x < 3.

Vậy đáp án A sai.

Xét đáp án B: y = 16 – x² 

Xét 16 – x²  = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-4\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = 16 – x² xét trên khoảng (– ∞; 2) nhận giá trị âm khi trên khoảng (– ∞; – 4) nhận giá trị dương trên khoảng (– 4; 2).

Vậy đáp án B sai.

Xét đáp án C: y = x² – 2x + 3

Xét x² – 2x + 3 = 0 ⇔ Phương trình vô nghiệm

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 2x + 3 nhận giá trị dương với mọi x ∈ ℝ

Vậy đáp án C sai.

Xét đáp án D: y = – x² + 5x – 6.

Xét – x² + 5x – 6 = 0  $\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=3\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = – x² + 5x – 6 nhận giá trị âm khi x ∈ (-∞; 2) ∪ (3; +∞)

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0  có 2 nghiệm đối nhau khi

$\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ S=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-3m+4>0\\ m-1=0\end{array}\right.$.

Xét biểu thức m² – 3m + 4 = ${\left(m-\frac{3}{2}\right)}^2$  + $\frac{7}{4}$ > 0 với mọi m

Vậy phương trình có 2 nghiệm đối dấu khi m = 1.

Đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

x² + x + m = 0 vô nghiệm khi ∆ < 0

Ta có ∆ = 1² – 4.1.m < 0 $\iff m>\frac{1}{4}$

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x) = x² + 4x + m – 5  luôn luôn dương ⇔ x² + 4x + m – 5  > 0 với mọi x ∈ ℝ

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=2^2-(m-5)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ m>9\end{array}\right.$

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: A

TH1. m = 0. Khi đó: f(x) = 1 > 0 .

TH2. m ≠ 0. Khi đó:

f(x) = mx² – 2mx + m + 1 > 0 ∀ x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ {\Delta }^{\text{'}}=m^2-m\left(m+1\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=m>0\\ m>0\end{array}\right.\iff m>0$

Vậy m ≥ 0 thỏa mãn bài toán.

Chọn C

Xét x² + 4x + 4  = 0 x = – 2.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-2)\cup (-2;+\infty )$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$  xác định khi và chỉ khi 2x² – 5x + 2 ≥ 0

Xét 2x² – 5x + 2 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có 2x² – 5x + 2 ≥ 0 $x\in \left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup \left[2;+\infty \right)$

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng: A

Ta có: x(x + 5) ≤ 2(x² + 2) x² – 5x + 4 ≥ 0

Đặt f(x) = x² – 5x + 4 ta có f(x) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu :

Dựa vào bảng xét dấu nghiệm của bất phương trình $x\in (–\infty ;1]\cup [4;+\infty )$

Đáp án đúng là: B

Ta có điều kiện: x² – 5 ≥ 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x\le -\sqrt{5}\\ x\ge \sqrt{5}\end{array}\right.$

Vậy $\left(x^2-3x-4\right).\sqrt{x^2-5}<0$ ⇔ x² – 3x – 4 < 0.

Xét x² – 3x – 4 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=4\end{array}\right.$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có x² – 3x – 4 < 0  – 1 < x < 4

Kết hợp với điều kiện ta được: $x\in \left(\sqrt{5};4\right)$. Suy ra nghiệm nguyên dương của bất phương trình đã cho là: x = 3.

Đáp án đúng là: D

ax² – x + a ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta ={\left(-1\right)}^2-4.a.a\le 0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ 1-4a^2\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(a) = 1 – a², có ∆ = 0² – 4.(-4).1 = 16 > 0. Do đó f(a) có hai nghiệm phân biệt $a=\frac{1}{2}$ và $a=-\frac{1}{2}$

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có 1 – 4a² ≤ 0 $\iff a\in \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Kết hợp với điều kiện a > 0 suy ra a ∈ $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$

Vậy để ax² – x + a ≥ 0,$\forall x\in ℝ$ thì a ∈$\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$  hay a ≥$\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) > 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta = {(m+1)}^2=-4.(2m+7)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =m^2-6m-27<0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 6m – 27, có ∆’ = 9 – (-27) =  36 > 0. Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là m = -3 và m = 9.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu để ∆ < 0 thì – 3 < m < 9.

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: B

Ta có f(x) > 0 vô nghiệm $\iff f\left(x\right)\le 0\forall x\in ℝ$ .

Xét m = 3 ta có f(x) = 5x – 4 với $x>\frac{4}{5}$  thì f(x) > 0 nên m = 3 không thỏa mãn.

Xét m ≠ 3 ta có f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=m-3<0\\ \Delta =m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ m^2+20m-44\le 0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai (biến m): m² + 20m –  44 có ∆’ = 10² – (-44) = 144 > 0. Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt x = -22 và x = 2.

Ta có bảng xét dấu

Để f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℝ $\iff \left\{\begin{array}{l}m<3\\ -22\le m\le 2\end{array}\right.\iff -22\le m\le 2$

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: B

Ta có: a = 2 > 0. Do đó, 2x² – 4x + m + 5 > 0,  sẽ có trường hợp sau:

Trường hợp 1. ∆ < 0  (– 4)² – 4.2.(m + 5) < 0 m > – 3, khi đó

2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\in ℝ$

Do đó 2x² – 4x + m + 5 > 0 với $\forall x\ge 3$

Trường hợp 2. ∆ ≥ 0, khi đó phương trình 2x² – 4x + m + 5 = 0 sẽ có hai nghiệm x₁; x₂.

Do đó, để 2x² – 4x + m + 5 > 0 ,$\forall x\ge 3$ $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ x_1\le x_2<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta \ge 0\\ af\left(3\right)>0\\ \frac{S}{2}<3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ 2\left({2.3}^2-4.3+m+5\right)>0\\ 1<3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -3\\ m>-11\end{array}\right.\iff – 11 < m \le – 3$

Kết hợp hai trường hợp lại ta được m > – 11 thì  thì 2x² – 4x + m + 5 > 0 với ∀ x ≥ 3.

a) Đúng. Ta có $f\left(0\right)=\left(m-1\right)\cdot 0^2+0+3=3>0$.

b) Đúng. $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai khi và chỉ khi $m-1\ne 0$, tức là $m\ne 1$.

c) Sai. Ta có $f\left(1\right)=\left(m-1\right)\cdot 1^2+1+3=m+3$.

Do đó $f\left(1\right)\ge 0$ khi $m+3\ge 0$, tức là $m\ge -3$.

d) Sai. Thay $m=1$ vào $f\left(x\right)$, ta được $f\left(x\right)=x+3$, ta thấy $f\left(x\right)$ không thể nhận giá trị dương với mọi $x$.

Ta có $\Delta =1^2-4\left(m-1\right)\cdot 3=13-4m$.

Với $m\ne 1$ hàm số $f\left(x\right)$ là tam thức bậc hai, do đó $f\left(x\right)>0\forall x$ khi $\left\{\begin{array}{l}m-1>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$, suy ra $\left\{\begin{array}{l}m>1\\ m>\frac{13}{4}\end{array}\right.$, suy ra $m>\frac{13}{4}$.

Vậy hàm số luôn nhận giá trị dương khi $m>\frac{13}{4}$.

Để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2x^2-\left(2m-1\right)x+1}}$ có tập xác định là $ℝ$ thì $2x^2-\left(2m-1\right)x+1>0$ đúng $\forall x\in ℝ$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$.

Ta có $a=2>0$ và $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1<0$$\iff 4m^2-4m-7<0$.

Tam thức $4m^2-4m-7$ có hai nghiệm $m=\frac{1-2\sqrt{2}}{2}$ và $m=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$ và hệ số của $m^2$ bằng 4 lớn hơn 0 nên $4m^2-4m-7<0$ khi $\frac{1-2\sqrt{2}}{2}<m<\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$.

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{0;1\right\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án: 2.

Ta có: $a=m-1,b=2\left(m-1\right),$$b^{\text{'}}=m-1,c=m-3$.

Theo giả thiết: $\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m-3\le 0,$$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\forall x\in ℝ(*)$.

Trường hợp 1: $a=m-1=0\Rightarrow m=1$. Thay vào (*): $1-3\le 0,\forall x\in ℝ$ (đúng).

Suy ra $m=1$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $a=m-1\ne 0\Rightarrow m\ne 1$.

(*)$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}a<0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m-1<0\\ {\left(m-1\right)}^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ m^2-2m+1-\left(m^2-4m+3\right)\le 0\end{array}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ 2m-2\le 0\end{array}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}m<1\\ m\le 1\end{array}\end{array}\iff m<1.\right.\right.$

Hợp hai kết quả trên, ta được $m\le 1$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m=1$.

Đáp án: 1.