30 Bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức Chương 3 (có đáp án)

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

⇒ a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc.

Đáp án đúng là: B

Ta có tan(180°) = $\frac{\sin (180°)}{\cos (180°)}=\frac{0}{-1}=0$.

Đáp án đúng là: A

Gọi hình bình hành là ABCD, AD = 3, AB = 5

Gọi α là góc đối diện với đường chéo có độ dài 5

Ta có: $\cos \alpha =\frac{3^2+5^2-5^2}{\mathrm{2.3.5}}=\frac{3}{10}$

⇒ α là góc nhọn

⇒ $\alpha =\widehat{ADC}$

⇒ AC = 5

⇒ $B{D}^2=A{D}^2+A{B}^2-2.AD.AB.\cos \widehat{BAD}=A{D}^2+A{B}^2+2.AD.AB.\cos \widehat{ADC}$

(vì $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$ bù nhau $\Rightarrow \cos \widehat{BAD}=-\cos \widehat{ADC}$)

⇒ BD² = 3² + 5² + 2.3.5.$\frac{3}{10}$ = 43

⇒ BD = $\sqrt{43}$.

Đáp án đúng là: B

Vì 0° < α < 90° (Góc phần tư thứ 1) nên tan(α) > 0; cot(α) > 0.

Đáp án đúng là: C

Đối với 2 góc bù nhau α và 180° – α ta có

sin(180° – α) = sin α; cos(180° – α) =  – cos α;

tan(180° – α) = – tan α (α ≠ 90°); cot(180° – α) = – cot α (0 < α < 180°);

Đáp án đúng là: B

Ta có sin²α + cos²α = 1

⇔ sin²α = 1 – cos²α  = 1 – ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^2$= 1 – $\frac{16}{25}$= $\frac{9}{25}.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{3}{5}\\ \sin \alpha =-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0. Do đó $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ 

⇒ tanα = $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=-\frac{3}{4}$, cotα = $\frac{co\mathrm{s}\alpha }{\sin \alpha }=-\frac{4}{3}$.

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: B

Vì 90° < α < 180° (Góc phần tư thứ 2) nên sin(α) > 0; cos(α) < 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có: cot1485° = cot(45° + 4.360°) = cot45° = 1.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$ (cos α ≠ 0), ta có:

$A=\frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{3\tan \alpha .cos\alpha +cos\alpha }{\tan \alpha .cos\alpha -cos\alpha }=\frac{3\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{3.2+1}{3.2-1}=7$.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A: cos750° = cos(30° + 2.360°) = cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó A đúng.

Đáp án B: sin1320⁰ = sin(–120⁰ + 4.360⁰) = sin(– 120⁰) = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó B đúng.

Đáp án C: cot1200⁰ = cot(– 60⁰ + 7.180⁰) = cot(– 60⁰ ) = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Do đó C sai.

Đáp án D: tan690⁰ = tan(– 30⁰ + 4.180⁰) = tan (– 30⁰) = $-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $M=\frac{{\tan }^{2}30°+{\sin }^{2}60°-{\cos }^{2}45°}{{\cot }^{2}120°+{\cos }^{2}150°}$

$=\frac{{\tan }^{2}30°+{\sin }^{2}60°-{\cos }^{2}45°}{{\left(-\tan 60°\right)}^2+{\left(-\sin 30°\right)}^2}$

$=\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}{{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$

$=\frac{7}{13}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\iff \cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{6^2+3^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{B}=60°$.

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a}{2\sin 45°}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Dáp án đúng là: C

Ta có: $A=\frac{\cos (-108°).\cot 72°}{\tan (-162°).\sin 108°}-\tan 18°=\frac{\cos (90°+18°).\cot \left(90°-18°\right)}{-\tan (180°-18°).\sin \left(90°+18°\right)}-\tan 18°$

$\iff A=\frac{-\sin 18°.\tan 18°}{-\tan 18°.cos18°}-\tan 18°=\frac{\sin 18°}{cos18°}-\tan 18°=\tan 18°-\tan 18°=0$.

Đáp án đúng là: B

$A=\frac{{\left(1-\frac{{\sin }^2\alpha }{co{s}^2\alpha }\right)}^2}{4.\frac{{\sin }^2\alpha }{co{s}^2\alpha }}-\frac{1}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }$

$\iff A=\frac{{(co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha )}^2}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }-\frac{1}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }$

$\iff A=\frac{(co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha +1)(co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha -1)}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }$

$\iff A=\frac{(co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha +co{s}^2\alpha +{\sin }^2\alpha )(co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha -co{s}^2\alpha -{\sin }^2\alpha )}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }$

$\iff A=\frac{2co{s}^2\alpha (-2{\sin }^2\alpha )}{4{\sin }^2\alpha .co{s}^2\alpha }=-1$

Đáp án đúng là: C

Ta có: A = cos²α.cot²α + 3cos²α – cot²α +2sin² α

$={\cos }^2\alpha .\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2{\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha$

$={\cos }^2\alpha .\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)+{\cos }^2\alpha$

$=\frac{{\cos }^4\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2+{\cos }^2\alpha$

$=\frac{{\cos }^4\alpha -{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2$

$=\frac{{\cos }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )-{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2$

$=\frac{{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+2$

= 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có: tanα.cotα = 1 nên:

D = tan1°.tan2°…tan89⁰.cot89°…cot2°.cot1°

= (tan1°.cot1°).(tan2°.cot2°)…(tan89⁰.cot89°)

= 1.1…1

= 1.

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Diện tích của tam giác là:

$S=\sqrt{p\left(p-5\right)\left(p-12\right)\left(p-13\right)}=\sqrt{15\left(15-5\right)\left(15-12\right)\left(15-13\right)}=30.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3cosx + 2 sinx = 2

⇔(3cosx + 2 sinx)² = 4

⇔9cos²x + 12cosx.sinx + 4sin²x = 4(sin²x + cos²x)

⇔5cos²x + 12cosx.sinx = 0

⇔(5cosx + 12sinx) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{cos}x=0\\ 5\text{cos}x+12\sin x=0\end{array}\right.$

Với cosx = 0 ⇒ sinx = 1 loại vì sinx < 0.

Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5\text{cos}x+12\sin x=0\\ 3\cos x+2\sin x=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sin x=-\frac{5}{13}\\ \text{cos}x=\frac{12}{13}\end{array}\right.$.

Vậy $\sin x=-\frac{5}{13}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin (180°-75°-45°)}{\sin 45°}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Cách 1: Vì cos α ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của M cho cosα ta có:

$M=\frac{3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-2}{5+7\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{3.\tan \alpha -2}{5+7.\tan \alpha }=\frac{3.2-2}{5+7.2}=\frac{4}{19}$.

Cách 2: Ta có: $\tan \alpha =2\iff \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\left(\cos \alpha \ne 0\right)\iff \sin \alpha =2\cos \alpha$, thay sinα = 2cosα vào M ta được $M=\frac{3.2\cos \alpha -2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7.2\cos \alpha }=\frac{4\cos \alpha }{19\cos \alpha }=\frac{4}{19}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow AC=b=\frac{c.\sin B}{\sin C}=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{3.\sin {30}^0}{\sin {45}^0}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}=2R$

Suy ra:

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}\Rightarrow a=\frac{b.\sin A}{\sin B}$. Do đó đáp án A đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}\Rightarrow \sin C=\frac{c.\sin A}{a}$. Do đó đáp án B đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R.\sin A$.Do đó đáp án C đúng.

+ $\frac{b}{\mathrm{sinB}}=2R\Rightarrow \frac{b}{2}=R\sin B\Rightarrow \frac{b}{2\mathrm{cosB}}=R\tan B$. Do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức: $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A$$=\frac{1}{2}\mathrm{.10.20.}\sin 60°$$=50\sqrt{3}$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\sqrt{6}}^2+{(\sqrt{3}+1)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.(\sqrt{3}+1)}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$⇒ $\widehat{A}$ = 45°.

Do đó: $R=\frac{a}{2\sin A}$$=\frac{2}{2.\sin 45°}$$=\sqrt{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=8$(cm).

Diện tích tam giác ABC là:$S=\frac{1}{2}AB.AC=24\left(c{m}^2\right)$

Nửa chu vi $p=\frac{6+8+10}{2}=12$ (cm)

Suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2$(cm).

Đáp án đúng là: C

Gọi BH là đường cao của hình bình hành ABCD.

Tam giác BAH vuông tại H, góc $\widehat{BAH}=\widehat{BAD}=45°$,

Ta có BH = AB.sin45° = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích hình bình hành ABCD là: $S=BH.AD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.a\sqrt{2}=a^2$(đvdt).

Đáp án đúng là: B

Ta có: a(a² – c²) = b(b² – c²)

⇔ a³ – b³ – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b²) – c²(a – b) = 0

⇔ (a – b)(a² + ab + b² – c²) = 0

⇔ a² + ab + b² – c² = 0 (Vì a ≠ b nên a – b ≠ 0)

⇔ a² + b² – c² = – ab

Ta có $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-ab}{2ab}$$=-\frac{1}{2}$.

Do đó: $\widehat{C}$ = 120°.

Đáp án đúng là: D

Trong tam giác ABC ta luôn có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ thức (a + b + c)(a + b – c) = 3ab

⇔ (a + b)² – c² = 3ab

⇔ c² = a² + b² – ab

Suy ra: – 2.cosC = – 1 $\Rightarrow \cos C=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{C}=60°$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\iff \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

$\Rightarrow \cos \left(B+C\right)=\cos \left(180°-A\right)=-cosA=-\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \cos A=\frac{1}{5}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác, ta có:

$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\mathrm{cosA}}=\sqrt{7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{1}{5}}=2\sqrt{15}$.