Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Kết nối tri thức

Với Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác hay nhất, chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 3 Kết nối tri thức

Lý thuyết tổng hợp Toán 10 Chương 3

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x₀; y₀) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{xOM}=\alpha$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0⁰ đến 180⁰

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{y_0}{x_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{x_0}{y_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$tan\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\alpha \ne 90°);$ $cot\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(\alpha \ne 0°và\alpha \ne 180°);$ $tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha }\text{(}\alpha \notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^0$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{xOM}={120}^0$ và $\widehat{xOK}={90}^0$nên $\widehat{KOM}={30}^0$và $\widehat{MON}={60}^0$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60⁰ = $\frac{1}{2}$ và cos 30⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos $\widehat{MON}$.OM = cos60⁰.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos.OM = cos30⁰.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120⁰ = $-\frac{1}{2}$

tan 120⁰ = $\frac{\sin {120}^0}{\cos {120}^0}=-\sqrt{3}$

cot 120⁰ = $\frac{\cos {120}^0}{\sin {120}^0}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy sin 120⁰ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120⁰ = $-\frac{1}{2}$; tan 120⁰ = $-\sqrt{3}$; cot 120⁰ = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = –cos α;

tan (180° – α) = –tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = –cot α (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra :

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = –cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = –tan45° = –1

cot135° = –cot45° = –1.

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan35° = –1; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có 30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

3. Định lí côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos 60^o = 2² + 3² – 2.2.3.$\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

4. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\hat{A}=120°$, $\hat{B}=30°$, c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$.

Suy ra $\hat{C}=180°-(\hat{A}+\hat{B})=180°-(120°+30°)=30°$ .

Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\iff \frac{a}{\sin 120°}=\frac{b}{\sin 30°}=\frac{10}{\sin 30°}=2R$.

Suy ra:

$a=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 120°=10\sqrt{3}$

$b=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 30°=10$

$R=\frac{10}{2\sin 30°}=10$

Vậy a = $10\sqrt{3}$ ; b = 10; R = 10; $\hat{C}={30}^0$ .

5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, $\hat{C}=60°$, $\hat{A}=100°$.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$.

Suy ra $\hat{B}=180°-(\hat{A}+\hat{C})=180°-(100°+60°)=20°$ .

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\iff \frac{a}{\sin 100°}=\frac{12}{\sin 20°}=\frac{c}{\sin 60°}$

Suy ra:

$a=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 100°\approx \mathrm{34,6}$

$c=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 60°\approx \mathrm{30,4}$

Vậy tam giác ABC có: $\hat{A}=100°$, $\hat{B}=20°$, $\hat{C}=60°$; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, $\widehat{BCA}={37}^o$. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

⇒ $\frac{5}{\sin A}=\frac{12}{\sin {37}^0}$

⇒ sin A = $\frac{5.\sin {37}^o}{12}\approx \mathrm{0,2508}$

⇒ $\hat{A}$ ≈ 14°31’

⇒ $\hat{B}$ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$

⇒ AC = $\frac{AB}{\sin C}$.sinB = $\frac{12}{\sin 37°}$.sin128^o29' ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

6. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr =$\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{(a+b+c)r}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B = $\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{abc}{4R}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và $\hat{A}={60}^o$.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$.14.35.sin 60° = $\frac{1}{2}$.14.35.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{245\sqrt{3}}{2}$(cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là: $\frac{245\sqrt{3}}{2}$cm².

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{4+5+3}{2}=\frac{12}{2}=6$ (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là :

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6$ (cm²).

Mặt khác S = $\frac{abc}{4R}$⇒ R = $\frac{abc}{4S}$ = $\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=\frac{5}{2}=\mathrm{2,5}$ (cm).

Ta có : S = pr ⇒ r = $\frac{S}{p}$ = $\frac{6}{6}$ = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm², bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

Bài tập tổng hợp Toán 10 Chương 3

Bài 1:Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A = 3² + 4² – 2. 3. 4 . cos 120° = 37.

⇒ BC = $\sqrt{37}$ ≈ 6,08 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos²30°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° – tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$.

b) cot 135° – tan 60°. cos² 30°

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos²30°

= - cot45° – tan60°.cos²30°

= (–1) – $\sqrt{3}$.${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$= $-\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$.

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{12+15+23}{2}=\frac{50}{2}=25$ (cm).

Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

S = $\sqrt{25.(25-12).(25-15).(25-23)}=\sqrt{6500}\approx \mathrm{80,62}$ (cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm².

Bài 4: Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin² α + 3cos² α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin² α + 3cos² α = (3sin² α + 3cos² α) + sin² α = 3 (sin² α + cos² α) + sin² α

Vì cos² α+ sin ² α= 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào A ta có: A = 3. 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$;

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

Bài 5: Cho A = $\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$ và tan α = $\sqrt{2}$. Chứng minh A = $7-4\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sqrt{2}\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{2}\cos \alpha$

Suy ra $A=\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{3\sqrt{2}\cos \alpha -\cos \alpha }{\sqrt{2}\cos \alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{(3\sqrt{2}-1)\cos \alpha }{(\sqrt{2}+1)\cos \alpha }$

$=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=7-4\sqrt{2}$

Vậy A = $7-4\sqrt{2}$.

Bài 6: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, $\hat{B}=60°$. (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2. AB. BC. cos B

= 15² + 35² – 2. 15. 35. cos 60° = 925.

Do đó AC = $\sqrt{925}$ ≈ 30,4.

Mặt khác:

BC² = AB² + AC² – 2. AB. AC . cos A

⇒ cos A = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$= $\frac{{15}^2+925-{35}^2}{\mathrm{2.15.}\sqrt{925}}\approx -\mathrm{0,08}$.

⇒ $\hat{A}\approx 95°$

⇒ $\hat{C}=180°-(\hat{A}+\hat{B})\approx 180°-(95°+60°)=25°$

Vậy tam giác ABC có:

$\hat{A}\approx 95°$; $\hat{B}=60°$; $\hat{C}\approx 25°$.

AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35.

Học tốt Toán 10 Chương 3

Các bài học để học tốt Chương 3 Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 3

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

• Lý thuyết Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Lý thuyết Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

• Lý thuyết Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---