Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

Bài viết Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy.

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy

A. Phương pháp giải

- Để chứng minh 3 điểm A; B; C thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 1 đường thẳng hoặc chứng minh 3 điểm đó là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) - Khi đó chúng cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) và (β).

- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo những cách sau:

   + Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba

   + Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. I; A; C        B. I; B; D         C. I; A; B        D. I; C; D

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD    (1)

Lại có

Từ (1) và (2) suy ra: I ∈ BD hay 3 điểm I; B; D thẳng hàng

Chọn B

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC. Gọi L; M; N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA; SB và AC sao cho LM không song song với AB và LN không song song với SC. Mặt phẳng (LMN) cắt các cạnh AB; BC và SC lần lượt tại K; I; J. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. K; I và J        B. M; I và J        C. N ; I và J        D. M; K và J

Lời giải

Ta có

- M ∈ SB suy ra M isin; (LMN) ∩ (SBC)    (1)

- I ∈ BC ⊂ (SBC) và I ∈ NK ⊂ (LMN)

⇒ I ∈ (LMN) ∩ (SBC)   (2)

- J ∈ SC ⊂ (SBC) và J ∈ LN ⊂ (LMN)

⇒ J ∈ (LMN) ∩ (SBC)     (3)

Vậy M ; I; J thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của mp (LMN) và (SBC)

Chọn B

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; M là trung điểm CD; I thuộc đoạn AG; BI cắt mp (ACD) tại J. Chọn mệnh đề sai

A. Giao tuyến của (ACD) và (ABG) là AM

B. 3 điểm A; J; M thẳng hàng.

C. J là trung điểm của AM.

D. Giao tuyến của mp(ACD) và (BDJ) là DJ.

Lời giải

Ta xét các phương án:

   + Ta có: A là điểm chung thứ nhất giữa hai mp (ACD) và mp (GAB)    (1)

Do M là giao điểm của BG và CD nên:

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABG) và (ACD) là AM ⇒ A đúng

   + Ta có ⇒ AM và BI đồng phẳng

⇒ J = BI ∩ AM nên 3 điểm A; J; M thẳng hàng → B đúng.

   + Ta có

⇒ D đúng

   + Điểm I di động trên AG nên J có thể không phải là trung điểm của AM.

⇒ C sai

Chọn C

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF cắt BC tại I; EG cắt AD tại H. Ba đường thẳng nào sau đây đồng quy?

A. CD; EF; EG          B. CD; IG; HF          C. AB; IG; HF          D, AC; IG; BD

Lời giải

Gọi O là giao điểm của HF và IG . Ta có

- O ∈ HF mà HF ⊂ (ACD) suy ra O ∈ (ACD)

- O ∈ IG mà IG ⊂ (BCD) suy ra O ∈ (BCD)

Do đó O ∈ (ACD) ∩ (BCD)    (1)

Mà (ACD) ∩ (BCD) = CD   (2)

Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.

Vậy ba đường thẳng CD; IG; HF đồng quy tại O.

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không phải là hình thang. Trên cạnh SC lấy điểm M . Gọi N là giao điểm của SD và mp (AMB). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một song song

B. Ba đường thẳng AB; CD; MN đôi một cắt nhau

C. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy

D. Ba đường thẳng AB; CD; MN cùng thuộc một mặt phẳng

Lời giải

- Trong mp (ABCD) gọi I là giao điểm của AD và BC

Trong mp (SBC), gọi K là giao điểm của BM và SI

Trong mp (SAD); gọi N là giao điểm của AK và SD

Khi đó N là giao điểm của đường thẳng SD với mp(AMB)

- Gọi O là giao điểm của AB và CD. Ta có:

   + O ∈ AB mà AB ⊂ (AMB) suy ra O ∈ (AMB)

   + O ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) suy ra O ∈ (SCD

⇒ O ∈ (AMB) ∩ (SCD)    (1)

Mà MN = (AMB) ∩ (SCD)    (2)

Từ (1) và (2) , suy ra O ∈ MN.

Vậy ba đường thẳng AB; CD và MN đồng quy.

Chọn C

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

A. AM = (ACD) ∩ (ABG)

B. A; J; M thẳng hàng

C. J là trung điểm AM

D. DJ = (ACD) ∩ (BDJ)

Lời giải

Chọn C

   + Ba điểm A; J và M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (ACD) và (ABG) nên A; J; M thẳng hàng, vậy B đúng

   + Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD // BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng (SAB) tại J. Khẳng định nào sau đây sai?

A. S, I; J thẳng hàng

B. DM ⊂ mp (SCI)

C. JM ⊂ mp(SAB)

D. SI = (SAB) ∩ (SCD)

Lời giải

Chọn C

   + Ba điểm S; I và J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp

(SAB) và (SCD) nên A đúng

Khi đó: giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SI

⇒ D đúng

   + M ∈ SC ⇒ M ∈ (SCI) nên DM ⊂ mp(SCI) vậy B đúng

   + M ∉ (SAB) nên JM ⊄ mp(SAB) vậy C sai

Ví dụ 8: Cho tứ diện SABC có D; E lần lượt là trung điểm của AC; BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (α) đi qua AC cắt SE; SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (β) đi qua BC cắt SD; SA tương ứng tại P và Q. Gọi I = AM ∩ DN, J = BP ∩ EQ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng

B. Bốn điểm S, I, J, G không thẳng hàng

C. Ba điểm P, I, J thẳng hàng

D. Bốn điểm I, J, Q thẳng hàng

Lời giải

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có S; I; J ; G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBD) và (SAE) nên chúng thẳng hàng

Chọn A

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AD // BC) . Gọi I là giao điểm của AB Và CD , M là trung điểm SC; DM cắt mặt phẳng (SAB) tạị J. Khẳng định nào sau đây sai?

A. S; I; J thẳng hàng

B. DM ⊂ mp(SCI)

C. JM ⊂ mp(SAB)

D. SI = (SAB) ∩ (SCD)

Lời giải:

Chọn C

Ta xét các phương án:

   + Ba điểm S; I; J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp (SAB) và (SCD) nên A đúng.

   + M ∈ SC nên M ∈ mp (SCI) nên DM ⊂ mp(SCI) vậy B đúng.

   + M không thuộc mp (SAB) nên JM không nằm trên mp (SAB) vậy C sai

   + Hiển nhiên D đúng theo giải thích A

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Tìm mệnh đề đúng?

A. 2 đường thẳng SE; EE’ cắt nhau

B. Ba điểm S; E, E’ thẳng hàng.

C. Ba điểm S; E; E’ xác định một mặt phẳng

D. Tất cả sai

Lời giải:

   + Ta có:

   + Tương tự ta có:

   + Mà S ∈ (SAB) ∩ (SCD)     (3)

Từ (1); (2); (3) sua ra 3 điểm S; E; E’ cùng thuộc giao tuyến của 2 mp (SBC) và (SAD)

⇒ 3 điểm S; E; E’ thẳng hàng

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điềm của AC và BD. Gọi M là trug điểm của SC và AM cắt SO tại I. Chứng minh 3 đường thẳng SI ; AC; BD đồng quy.

Lời giải:

   + Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO

   + Giao tuyến của (SAC) và mp (ABCD) = AC

   + Giao tuyên của (SBD) và (ABCD) = BD.

⇒ Ba mặt phẳng (SAC); (SBD) và (ABCD) đồng quy tại 1 điểm

Mà AC cắt BD tại O nên 3 đường thẳng này đồng quy tại O

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Một mặt phẳng cắt các cạnh SA; SB; SC; SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Giả sử AD cắt BC tại E; A’D’ cắt B’C’ tại E’. Chứng minh 3 đường thẳng A’C’; B’D’; SO đồng quy?

Lời giải:

   + trong mp (A’B’C’D’); gọi K là giao điểm của A’C’ và B’D’ ta có:

⇒ K ∈ (SAC) ∩ (SBD)    (1)

   + Mà (SAC) ∩ (SBD = SO     (2)

   + Từ (1) và (2) suy ra: K ∈ SO

⇒ 3 đường thẳng A’C’; B’D’ và SO đồng quy tại K

Câu 5: Cho tứ diện SABC. Trên SA; SB và SC lấy các điểm D; E và F sao cho DE cắt AB tại I; EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Tìm mệnh đề đúng? Chứng minh ba điểm I; J ; K thẳng hàng.

A. Hai đường thẳng EF và IK chéo nhau

B. 3 điểm I; J; K thẳng hàng

C. Hai đường thẳng JK và DE chéo nhau

D. Tất cả sai

Lời giải:

   + Ta có I = DE ∩ AB, DE ⊂ (DEF) ⇒ I ∈ (DEF)

AB ⊂ (ABC) ⇒ I ∈ (ABC)   (1)

   + Tương tự:

   + Từ (1),(2) và (3) ta có I; J ; K là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) nên chúng thẳng hàng.

Chọn B

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh bên SA; SB;SC và SD tương ứng tại các điểm M, N, P, Q. Khẳng định nào đúng?

A. Các đường thẳng MP, NQ, SO đồng qui

B. Các đường thẳng MP, NQ, SO chéo nhau

C. Các đường thẳng MP, NQ, SO song song

D. Các đường thẳng MP, NQ, SO trùng nhau

Lời giải:

Trong mặt phẳng (MNPQ) gọi I = MP ∩ NQ

Ta sẽ chứng minh I ∈ SO

   + Dễ thấy SO = (SAC) ∩ (SBD)

Vậy MP, NQ, SO đồng qui tại I

Chọn A

Câu 7: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng a. Trong (P) lấy hai điểm A, B nhưng không thuộc a và S là một điểm không thuộc (P). Các đường thẳng SA; SB cắt (Q) tương ứng tại các điểm C; D. Gọi E là giao điểm của AB và a. Khẳng định nào đúng?

A. AB; CD và a đồng qui

B. AB; CD và a chéo nhau

C. AB; CD và a song song nhau

D. AB; CD và a trùng nhau

Lời giải:

   + Trước tiên ta có vì ngược lại thì S ∈ AB ⊂ (P) ⇒ S ∈ (P) (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó S; A và B không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng (SAB)

Vậy AB; CD và a đồng qui tại E

Chọn A

D. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; điểm P thuộc SC và không là trung điểm của SC.

a. Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng (MNP)

b. Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP)

c. Gọi F; G; H lần lượt là giao điểm của QM và AB; QP và AC; QN và AD. Chứng minh ba điểm F; G; H thẳng hàng

Lời giải:

a) Trong mp(SBD) gọi E = SO ∩ MN

b) Trong mp(SAC) gọi Q = SA ∩ PE

c)

Từ (1) (2) và (3) suy ra ba điểm F, G, H thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABCD). Do đó ba điểm F, G, H thẳng hàng.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Lấy M thuộc SB và O là giao điểm AC với BD.

a) Tìm giao điểm N của SC với (AMC)

b) AN cắt DM tại I. Chứng minh S, I, O thẳng hàng.

Lời giải:

a) Trong mp(ABCD) gọi

Từ (1) và (2) suy ra (AMD) ∩ (SBC) = EM

   + Trong mp(SBC) gọi

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD. Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N của SD với (MAB)

b) Chứng minh: SO; AM; BN đồng quy

Lời giải:

a) Trong mp(ABCD) gọi

Chứng tỏ ba đường thẳng SO; AM;BN đồng quy tại điểm I

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, gọi E, F; H lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA; SB; SC

a. Tìm giao điểm K = SD ∩ (EFH)

b. AC ∩ BD = O; EH ∩ FK = I. Chứng minh: S; I; O thẳng hàng.

c. AD ∩ BC = M; EK ∩ FH = N. Chứng minh: S, M, N thẳng hàng.

d. AB ∩ CD = P; EF ∩ HK = O. Chứng minh: A, P, Q thẳng hàng.

Lời giải:

a) Có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi O = AC ∩ BD

⇒

⇒ O ∈(SAC) ∩ (SBD)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(SAC) ∩ (SBD) = SO

   + Trong mp(SAC) gọi I = EH ∩ SO

Từ (3) và (4) suy ra (EFH) ∩ (SBD) = FI

Trong mp(SBD) gọi K = SD ∩ FI

⇒

b) Có S ∈ (SAD) ∩ (SBC)    (5)

Có M = AD ∩ BC

⇒

Từ (5) và (6) suy ra (SAD) ∩ (SBC) = SM

Theo đề N = EK ∩ FH

⇒

Có nghĩa N thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), hay N ∈ SM. Từ đó suy ra ba điểm S, M, N thẳng hàng

c) Có S ∈ (SAB) ∩ (SCD)   (7)

Có P = AB ∩ CD ⇒

P ∈ (SAB) ∩ (SCD)   (8)

Từ (7) và (8) suy ra (SAB) ∩ (SCD) = SP

Theo đề Q = EF ∩ KH

⇒

Có nghĩa Q thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Hay Q ∈ SP. Từ đó suy ra ba điểm S, P, Q thẳng hàng

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N; P lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB; AC; BD MN ∩ BC = I; MP ∩ AD = J; NJ ∩ IP = K. Chứng minh C, D, K thẳng hàng.

Lời giải:

   + Vì MN và BC thuộc mp(ABC) nên chúng cắt nhau tại I và MP và AD cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nên chúng cắt nhau tại J. Hai đường thẳng IP và NJ cùng thuộc mặt phẳng (MNP) nên chúng cắt nhau tại K

   + Có (ACD) ∩ (BCD) = CD

Và có K = IP ∩ NJ mà

Có nghĩa K thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD), nên ba điểm C, D, K thẳng hàng.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I và J là hai điểm trên hai cạnh AD; SB.

a. Tìm giao tuyến của hai mp (SBI) và (SAC). Tìm giao điểm K của IJ và mp(SAC)

b. Tìm giao tuyến của hai mp (SBD) và (SAC). Tìm giao điểm L của DJ và mp(SAC)

c. AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh rằng: A; K; L; M thẳng hàng

Lời giải:

a) Có S ∈ (SBI) ∩ (SAC)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi

⇒ E ∈ (SBI) ∩ (SAC)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SBI) ∩ (SAC) = SE

Trong mp(SBI) gọi

b) Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (3)

Trong mp(ABCD) gọi F = AC ∩ BD

⇒

⇒ F ∈ (SBD) ∩ (SAC)    (4)

Từ (3) và (4) suy ra (SBD) ∩ (SAC) = SF

Trong mp(SBD) gọi L = DJ ∩ SF

⇒

c) Có A ∈ (SAC) ∩ (AJO)  (5)

Từ (5), (6), (7) và (8) suy ra bốn điểm A, K, L, M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (AJO)

Do đó bốn điểm A, K, L, M thẳng hàng

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E, AD ∩ BC = K. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC.

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)

b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SBD)

c) Tìm giao điểm của Q của SD và (MNP)

d) Gọi H = MN ∩ PQ. Chứng minh: S; H; E thẳng hàng

e) Chứng minh: SK; QM; NP đồng quy

Lời giải:

a) Có S ∈ (SBD) ∩ (SAC)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi I = AC ∩ BD

Từ (1) và (2) suy ra (SBD) ∩ (SAC) = SI

b) Có N ∈ (SBD) ∩ (MNP)   (3)

Trong mp(SAC) gọi

Từ (3) và (4) suy ra (SBD) ∩ (MNP) = NJ

c) Trong mp(SBD) gọi Q = SD ∩ NJ

⇒

d) Có SE = (SAB) ∩ (SCD)

Theo giả thuyết có H = MN ∩ PQ

⇒

Hay H ∈ SE nên 3 điểm S, H, E thẳng hàng

e) Có SK = (SAD) ∩ (SBC)

Theo giả thuyết có R = MQ ∩ NP

⇒

Hay R ∈ SK nên ba đường thẳng SK, MQ, NP đồng quy tại điểm R

Câu 8: Cho tứ diện S.ABC với I trung điểm của SA, J là trung điểm của BC. Gọi M là điểm di động trên IJ và N là điểm di động trên SC.

a) Xác định giao điểm P của MC và (SAB)

b) Tìm giao tuyến của (SMP) và (ABC)

c) Tìm giao điểm E của MN và (ABC)

d) Gọi F = IN ∩ AC. Chứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M, N di động

Lời giải:

a) Chọn mp(BCI) chứa MC. Có IB = (SAB) ∩ (BCI)

Trong mp(BCI) gọi

⇒ P = CM ∩ (SAB)

b) Có

⇒ C ∈ (ABC) ∩ (SMP)   (1)

Trong mp(SAB) gọi   (2)

Từ (1) và (2) suy ra (ABC) ∩ (SMP) = CH

c) Trong mp(SHC) gọi E = MN ∩ CH

⇒

Từ (3) và (4) suy ra (IJN) ∩ (ABC) = EF

Ngoài ra có J ∈ (IJN) ∩ (ABC). Hay J ∈ EF

Kết luận đường thẳng EF luôn đi qua điểm J cố định khi M, N thay đổi

Câu 9: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối đôi một không song song, S không thuộc (ABCD). Lấy điểm thuộc cạnh AD, lấy điểm J thuộc cạnh SB.

a) Tìm K = IJ ∩ (SAC)

b) Tìm L = DJ ∩ (SAC)

c) Gọi O = AD ∩ BC, M = OJ ∩ SC. Chứng minh rằng: K, L, M thẳng hàng.

Lời giải:

a) Có S ∈ (SAC) ∩ (SBI)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi E = AC ∩ BI, có

   + Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBI) = SE

   + Trong mp(SBI) gọi K = IJ ∩ SE, có

b) Có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

   + Trong mp(ABCD) gọi F = AC ∩ BD, có

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SF

   + Trong mp(SBD) gọi L = DJ ∩ SF, có

   + Từ (3), (4) và (5) suy ra ba điểm K, L, M thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (AJO) và (SAC)

suy ra ba điểm K, L, M thẳng hàng

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC

a) Tìm giao tuyến của ( BMN) với các mp ( SAB), ( SBC)

b) Tìm I = SO ∩ (BMN), K = SD ∩ (BMN)

c) Tìm E = AD ∩ (BMN), F = CD ∩ (BMN)

d) Chứng minh rằng: B, E, F thẳng hàng.

Lời giải:

Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm E, B, F thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (BMN)

Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt nằm trên 2 cạnh BC và SD.

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC)

b) Tìm giao điểm J của MN và (SAC)

c) Chứng minh: I, J, C thẳng hàng

d) Xác định thiết diện của mặt phẳng (BCN) với hình chóp

Lời giải:

a) Có S ∈ (SAC) ∩ (SBD)   (1)

Trong mp(ABCD) gọi E = AC ∩ BD, có

⇒ E ∈ (SAC) ∩ (SBD)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SE

Trong mp(SBD) gọi I = BN ∩ SE, có

b) Có S ∈ (SAC) ∩ (SMD)    (3)

Trong mp(ABCD) gọi F = AC ∩ MD, có

Từ (3) và (4) suy ra (SAC) ∩ (SMD) = SF

Trong mp(SMD) gọi J = MN ∩ SF, có

c) Có C ∈ (SAC) ∩ (BCN)   (*)

Từ (*); (**) và (***) suy ra 3 điểm C, I, J thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (BCN)

Suy ra 3 điểm C, I, J thẳng hàng

d) Trong mp(SAC) gọi L = CI ∩ SA

Có BL = (BCN) ∩ (SAB)

LN = (BCN) ∩ (SAD)

NC = (BCN) ∩ (SCD)

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCNL

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có K là trung điểm của AB . Lấy I, J lần lượt thuộc AC, BD sao cho IA = 2IC; JB = 3JD.

a) Tìm giao điểm E của AD và ( IJK)

b) Tìm giao tuyến d của (IJK) và (BCD)

c) Gọi O là giao điểm của d với CD. Chứng minh I, O, E thẳng hàng

d) Tính các tỉ số OI/OE, OC/OD

Lời giải:

d)

   + Gọi H trung điểm của BD, suy ra J trung điểm của HD và KH // AD.

Ta có ΔJHK = ΔJDE (g.c.g)⇒ JK = JE và HK = DE ⇒ AD = 2DE

Tam giác ADE được vẽ lại ở hình 2.

   + Dựng DQ // EI; Q thuộc AC. Áp dụng hệ quả định lí Ta let ta có:

   + Trong tam giác CDQ, có OI // DQ áp dụng hệ quả định lí Ta let ta có:

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,AD là đáy lớn và AD = 2BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB; SC và O là giao điểm của AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của (ABN) và (SCD)

b) Tìm giao điểm P của DN và (SAB)

c) Gọi K là giao điểm của AN và DM. Chứng minh 3 điểm S, K, O thẳng hàng. Tính KS/KO

Lời giải:

b) Có SE là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD)

Suy ra điểm P cần tìm là giao điểm của DN và SE

c)

   + Có SO là giao tuyến của mp(SAC) và mp(SBD)

Kết luận 3 điểm S, K, O thẳng hàng.

   + Trong ΔADE có

⇒ B, C lần lượt trung điểm của AE và DE.

Suy ra O là trọng tâm tam giác ADE

   + Tam giác SAC được vẽ lại ở hình 2

Dựng OR // SC với R ∈ AN

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G_A, G_B, G_C, G_D lần lượt là trọng tâm của các tam giác sau: BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng quy.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD  có các cạnh đối không song song và AC ∩ BD = O. Gọi E, F, H  lần lượt là các điểm thuộc cạnh SA, SB, SC.

a) Tìm giao điểm I của EH và (SBD) , giao điểm K của SD  và (EFH).

b) Gọi AD ∩ BC = M, EK ∩ FH = N. Chứng minh: S, M, N thẳng hàng.

c) Gọi AB ∩ CD = P. Chứng minh: EF, HK, SP đồng quy.

Bài 3. Cho ba đường thẳng x, y, z không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng x, y, z cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho.

Bài 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a. ME // AC, NF // BD.

b. Ba đường thẳng ME, NF, và SO (O là giao điểm của AC và BD) đồng quy.

c. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC.

1. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD).

2. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD).

3. Chứng minh I, J, B thẳng hàng.

Bài 7. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M.

1. Tìm giao điểm K của IJ và (SAC).

2. Xác định giao điểm L của DJ và (SAC).

3. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.

Bài 8. Cho tứ diện SABC. Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (LMN) và (ABC).

2. Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) và J = SC ∩ (LMN).

3. Chứng minh M, I, J thẳng hàng.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b) DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c)  Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 10. Cho tứ diện SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết về đường thẳng và mặt phẳng
• Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
• Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
• Cách tìm thiết diện của hình chóp
• Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy
• Cách tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng

---