50+ dạng bài Giới hạn, Hàm số liên tục (chọn lọc, có lời giải)

---

---

Tổng hợp các dạng bài tập Giới hạn, Hàm số liên tục lớp 11 sách mới Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều với phương pháp giải chi tiết và bài tập đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giới hạn, Hàm số liên tục.

50+ dạng bài Giới hạn, Hàm số liên tục (chọn lọc, có lời giải)

• Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức

• Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức

• Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa

• Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan

• Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực

• Giới hạn một bên

• Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

• Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

• Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

• Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục

• Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 sách mới:

• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Hàm số lượng giác, phương trình lượng giác
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Dãy số, Cấp số cộng và cấp số nhân
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Quan hệ song song trong không gian
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Hàm số liên tục
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Quan hệ vuông góc trong không gian
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Đạo hàm
• Các dạng bài tập Đạo hàm
• (Chuyên đề) Các dạng bài tập Hàm số mũ & Hàm số lôgarit
• Chuyên đề Các quy tắc tính xác suất
• Các dạng bài tập Xác suất

---

---

---

Lưu trữ: Các dạng bài tập Giới hạn, Hàm số liên tục (sách cũ)

Tổng hợp lý thuyết chương Giới hạn

• Lý thuyết Giới hạn của dãy số Xem chi tiết
• Lý thuyết Giới hạn của hàm số Xem chi tiết
• Lý thuyết Hàm số liên tục Xem chi tiết
• Lý thuyết Tổng hợp chương Giới hạn Xem chi tiết

Chủ đề: Giới hạn của dãy số

• Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập
• Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
• Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập
• Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa Xem chi tiết
• Dạng 2: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Xem chi tiết
• Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số Xem chi tiết
• Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức (cực hay, chi tiết) Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 1) Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của dãy số có đáp án (phần 2) Xem chi tiết

Chủ đề: Giới hạn của hàm số

• Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa Xem chi tiết
• Tìm giới hạn hàm số dạng vô định Xem chi tiết
• Dạng 2: Tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
• Dạng 3: Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng Xem chi tiết
• Dạng 4: Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng, vô cùng trên vô cùng Xem chi tiết
• Cách tính giới hạn của hàm số có chứa căn thức (cực hay, chi tiết) Xem chi tiết
• Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối (cực hay, chi tiết) Xem chi tiết
• Cách tính giới hạn của hàm số lượng giác (cực hay, chi tiết) Xem chi tiết
• Cách chứng minh phương trình có nghiệm (cực hay, chi tiết) Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (phần 1) Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số có đáp án (phần 2) Xem chi tiết

Chủ đề: Hàm số liên tục

• Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Tìm m để hàm số liên tục Xem chi tiết
• 40 bài tập trắc nghiệm Hàm số liên tục có đáp án (phần 1) Xem chi tiết
• 40 bài tập trắc nghiệm Hàm số liên tục có đáp án (phần 2) Xem chi tiết

Cách tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn:

Bài 3: Tìm m để các hàm số:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Tìm trong đó f(x₀) = g(x₀) = 0

Dạng này ta gọi là dạng vô định 0/0

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x₀ thì ta có :f(x) = (x-x₀)f₁(x)

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích

f(x) = (x-x₀)f₁(x)và : g(x) = (x-x₀)g₁(x).

Khi đó , nếu giới hạn này có dạng 0/0 thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Tìm giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 3:

Hướng dẫn:

Đặt t = x - 1 ta có:

Cách xét tính liên tục của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x₀ ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀ ta làm như sau:

       + Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x₀ và tính f(x₀)

       + Nếu tồn tại thì ta so sánh

với f(x₀).

Nếu =     f(x₀) thì hàm số liên tục tại x₀

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại x₀ thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

2.

3. Hàm số liên tục tại x = x₀ ⇔ = k

4. Hàm số liên tục tại điểm x = x₀ khi và chỉ khi

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3

Hướng dẫn:

1. Hàm số xác định trên R

Ta có f(3) = 10/3 và

Vậy hàm số không liên tục tại x = 3

2. Ta có f(3) = 4 và

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số

1. f(x) = tan2x + cosx

Hướng dẫn:

1. TXĐ:

Vậy hàm số liên tục trên D

2. Điều kiện xác định:

Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Hướng dẫn:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Hướng dẫn:

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1

Bài 5: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0

Hướng dẫn:

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho u_n = $\frac{n^2-3n}{1-4n^2}$. Tính limu_n.

Bài 2. Biết $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-3}{x-3}=\frac{a}{b}$ trong đó a, b là số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ là tối giản. Tính giá trị biểu thức P = a² + b².

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2-x+7\right)$;

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-1}$;

c) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{\left|x-3\right|}{3x-9}$.

Bài 4. Tính giới hạn I = $\lim \frac{5n+2017}{2n+2018}$.

Bài 5. Tính giới hạn $\lim \frac{8n-1}{\sqrt{4n^2+n+1}}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Chuyên đề: Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác
• Chuyên đề: Tổ hợp - Xác suất
• Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
• Chuyên đề: Đạo hàm
• Chuyên đề: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
• Chuyên đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
• Chuyên đề: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

---

---

---