Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa.

Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

- Các tính chất của giới hạn:

+$\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

+$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$ với q > 1.

+ $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ với 0 < q < 1.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ (hoặc –∞) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a>0$ , $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$và v_n > 0 với mọi n thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a>0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n{v}_n=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b$ thì

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=a+b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-v_n\right)=a-b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.v_n\right)=a.b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{a}{b}$(nếu b ≠ 0).

+ Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ thì

a ≥ 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

- Cách giải bài tập dạng toán tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa thường là chia quy biểu thức về dạng hàm số của số hạng có lũy thừa lớn nhất, sau đó áp dũng các tính chất để xác định giới hạn.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3+n^2+1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2.$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2-1}$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 2. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{5n+1}}{3^{5n+3}}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 3. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-{4.2}^{n+3}-3}{{3.2}^{n+1}+4^{n+2}}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 4. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4-5^{n+3}}{3^{n+2}+{2.5}^{n+1}}$ là

A. $-\frac{2}{25}$;

B. $\frac{2}{25}$;

C. $-\frac{25}{2}$;

D. $\frac{25}{2}$.

Bài 5. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-1}{2^n-{2.3}^n+1}$ là

A. 1;

B. –2;

C. –1;

D. $-\frac{1}{2}$.

Bài 6. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{n+1}+3n+10}{3^{n+2}-3^n+2}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 7. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-1}{n^3+3}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 8. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7n^2-2n^3+1}{3n^3+2n^2+1}$ là

A. $-\frac{2}{3}$;

B. $\frac{2}{3}$;

C. $-\frac{3}{2}$;

D. $\frac{3}{2}$.

Bài 9. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^3-3}{n^6+5n^5}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 10. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+3n+1}{2n-3}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan

• Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực

• Giới hạn một bên

• Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

• Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

---