Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

- Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với $\left(q\right)<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Với cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) có công bội q:

$S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Vì $\left(q\right)<1$ nên $q^n\to 0$ khi $n\to +\infty$. Do đó

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) và được ký hiệu là

S = u₁ + u₂ + … + u_n + … = $\frac{u_1}{1-q}$ $\left(\left(q\right)<1\right)$.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 3 và q = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6$.

Ví dụ 2. Tính tổng $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\mathrm{...}+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\mathrm{...}$

Hướng dẫn giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và $q=-\frac{1}{2}$.

Do đó $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Ba số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 2 và q = 0,5 là       

A. 2; 1; 0,5;

B. 2; 4; 8;

C. –2; –1; –0,5;

D. –2; –4; –8.

Bài 2. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 1 và q = 0,3 là

A. $\frac{7}{10}$;

B. $\frac{10}{7}$;

C. $-\frac{7}{10}$;

D. $-\frac{10}{7}$.

Bài 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 13 và q = –0,2 là

A. 16,25;

B. 16,5;

C. 16,75;

D. 17.

Bài 4. Công bội của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = –20 và S = –40 là

A. 0,1;

B. 0,2;

C. 0,25;

D. 0,5.

Bài 5. Công bội của cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 32 và S = 20 là

A. 0,4;

B. 0,5;

C. 0,6;

D. 0,7.

Bài 6. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $3;-1;\frac{1}{3};-\frac{1}{9};\frac{1}{27};\mathrm{...};\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{3^{n-2}};\mathrm{...}$ là

A. $\frac{9}{4}$;

B. $\frac{4}{9}$;

C. $-\frac{9}{4}$;

D. $-\frac{4}{9}$.

Bài 7. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $3;\sqrt{3};1;\mathrm{...};\frac{1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^{n-3}};\mathrm{...}$  là

A. $\frac{9+2\sqrt{3}}{3}$;

B. $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$;

C. $\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$;

D. $\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$.

Bài 8. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân lùi vô hạn có q = 0,5 và S = 20 là

A. 0;

B. 1;

C. 5;

D. 10.

Bài 9. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 3; –0,3; 0,03; –0,003; …

A. $\frac{30}{11}$;

B. $-\frac{11}{30}$;

C. $\frac{11}{30}$;

D. $-\frac{30}{11}$.

Bài 10. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn6,6666… dưới dạng phân số là

A. $\frac{3}{20}$;

B. $-\frac{3}{20}$;

C. $\frac{20}{3}$;

D.$-\frac{20}{3}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực

• Giới hạn một bên

• Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

• Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

• Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

---