Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức.

Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Tính giới hạn $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ .

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n^k, với k là bậc cao nhất ở mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=\frac{0}{1}=0$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=0$.

Ví dụ 2. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}+\frac{5}{n^3}}=\frac{3}{2}$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\frac{3}{2}$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^4+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^4=+\infty$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}=+\infty$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{1-3n}$là

A. $+\infty$;

B. $-\infty$;

C. $\frac{-2}{3}$;

D. 1.

Bài 2. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3n+1}{{\left(3n-1\right)}^2}$là

A. $+\infty$;

B. $-\infty$;

C. 1;

D. $\frac{4}{9}$.

Bài 3. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$là

A. 2;

B. 1;

C. 0;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 4. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n}+1}{n^2+2}$là

A. 2;

B. 0;

C. 1;

D. $\frac{3}{2}$.

Bài 5. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$là

A. 2;

B. 1;

C. 0;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 6. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-2n}{1-3n^2}$là

A. $-\infty$;

B. $+\infty$;

C. $-\frac{1}{3}$;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 7. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(2n-n^3\right)\left(3n^2+1\right)}{\left(2n-1\right)\left(n^4-7\right)}$là

A. $-\frac{3}{2}$;

B. 1;

C. 3;

D. $+\infty$.

Bài 8. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(n^2+2n\right)\left(2n^3+1\right)\left(4n+5\right)}{\left(n^4-3n-1\right)\left(3n^2-7\right)}$là

A. 0;

B. 1;

C. ;

D. $+\infty$.

Bài 9. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}+1}{\sqrt[3]{n}+8}$là

A. $\frac{1}{2}$;

B. 1;

C. $\frac{1}{8}$;

D. $+\infty$.

Bài 10. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{2n+b}{5n+3}$trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn thì giá trị của b là

A. b = 3;

B. $b\ne 0$;

C. b = 5;

D. $b\in ℝ$.

Bài 11. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{4n^2+n+2}{a{n}^2+5}$trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u_n) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của a là

A. a = 1;

B. a = 2;

C. a = 4;

D. a = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức

• Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa

• Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan

• Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực

• Giới hạn một bên

---