Cách chứng minh phương trình có nghiệm (cực hay, chi tiết)

Bài viết Cách chứng minh phương trình có nghiệm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh phương trình có nghiệm.

Cách chứng minh phương trình có nghiệm (cực hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

 Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

 Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

- Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a; +∞).

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) . < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-∞; a).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1)

Ta có: f(0) = 0³ + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)⁴ + 2.(-1)² - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.1⁴ + 2.1² - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình x⁵ - 5x³ + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x⁵ - 5x³ + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Vì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc

Vì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3).

Do các khoảng không giao nhau nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm.

Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm

Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm).

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + ax² + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có: ⇒∃ x₁ > 0 để f(x₁) > 0

Tương tự: ⇒∃ x₂ < 0 để f(x₂) < 0

Như vậy có x₁ ; x₂ để f(x₁) . f(x₂) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x₁; x₂)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

(1 – m²)(x + 1)³ + x² – x – 3 = 0.

Bài 2. Cho phương trình: $m\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=2\sin 5x+1$. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Bài 3. Chứng minh phương trình 2x² + (2m – 1)x + m – 1 luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 4. Chứng minh phương trình m(x - 1)³(x + 2) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm với mọi m thuộc ℝ.

Bài 5. Chứng minh rằng phương trình (1 – m²)x⁵ – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 6. Cho phương trình bậc hai: x² – (m + 2)x + 2m = 0 với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Bài 7. Chứng minh rằng phương trình x³ + mx² – (3 + m²)x – 2m + 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 8. Cho phương trình: x² – (2m + 1)x + m² + m - 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A = (2x₁ – x₂₎(2x₂ – x₁) đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 9. Cho phương trình x² – mx + m – 2 = 0 (m là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình 4x³ - 8x² + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng (–1; 2).

Bài 11. Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm.

Bài 12. Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Bài 13. Chứng minh rằng phương trình x⁵ - 5x³ + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Bài 14. Chứng minh rằng phương trình (m2 - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ ℕ* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Bài 15. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm: x³ – 5x² + 7 = 0.

Bài 16. Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax² + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Bài 17. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 có ít nhất một nghiệm.

Bài 18. Chứng minh phương trình x³ + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.

Bài 19. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm: x⁵ + x – 3 = 0

---