Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Bài viết Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập

1. Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |u_n| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: hay lim u_n = 0 hay u_n → 0 khi n → +∞. 

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (u_n) có giới hạn là số thực L nếu lim (u_n – L) = 0

Kí hiệu: hay lim u_n = L hay u_n → L  khi n → +∞.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu : lim u_n = +∞ hoặc u_n → +∞ khi n → +∞ 

Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim(−u_n) = +∞ 

Ký hiệu : lim u_n = −∞ hoặc u_n → −∞ khi n → +∞

d) Một vài giới hạn đặc biệt

 lim u_n = 0 ⇔ lim|u_n| = 0

; ,(k > 0, k ∈ ℕ^*); lim n^k = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ^*)        

 

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim u_n = a và lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(u_n + v_n) = a + b 

lim(u_n - v_n) = a - b 

lim(u_n v_n) = a.b 

 

lim(cu_n ) = c.a 

lim|u_n | = |a| 

 

Nếu u_n ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và  

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): 

Nếu thì lim u_n = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): 

Nếu thì lim u_n = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (u_nv_n)

Nếu lim u_n = L ≠ 0, lim v_n = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	−∞	−∞
-	+∞	−∞
-	−∞	+∞

* Quy tắc tìm giới hạn thương    

lim un = L	lim vn	Dấu của vn
L	±∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+∞
	0	-	−∞
L < 0	0	+	−∞
	0	-	+∞

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u₁; u₁q; u₁q²; … u₁qⁿ; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:   

2. Các dạng toán

Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

 lim u_n = 0 ⇔ lim|u_n| = 0

; ,(k > 0, k ∈ ℕ^*); lim n^k = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ^*)        

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

 

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

 

c) lim (-0,999)ⁿ 

Lời giải

   

 

c) lim (-0,999)ⁿ = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải: 

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho n^k (với n^k là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

lim u_n = 0 ⇔ lim|u_n| = 0

; ,(k > 0, k ∈ ℕ^*); lim n^k = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ^*)        

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

 

Lời giải

 

 

     

 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

 

 

Lời giải

   

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

   

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

 

Lời giải

  

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:  

Lời giải

 

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu u_n = L ≠ 0, lim v_n = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	−∞	−∞
-	+∞	−∞
-	−∞	+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim (n⁴ − 2n² +3)

b) lim ( −2n³ + 3n − 1) 

c) lim (5ⁿ − 2ⁿ)  

Lời giải

a) lim (n⁴ − 2n² +3) =  

Vì lim n⁴ = +∞;   .

b) lim ( −2n³ + 3n − 1) =    

Vì lim n³ = +∞; 

c) lim (5ⁿ − 2ⁿ) =    

Vì lim 5ⁿ = +∞ và   .

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

Lời giải

 

Vì    

   

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (u_nv_n)

Nếu lim u_n = L ≠ 0, lim v_n = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (u_nv_n)

lim un = L	lim vn	lim (unvn)
+	+∞	+∞
+	−∞	−∞
-	+∞	−∞
-	−∞	+∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

 

Lời giải

 

 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau  .

Lời giải

 

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

 

Lời giải

   

 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

 

Lời giải

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (u_n) ở dạng công thức truy hồi, biết (u_n) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim u_n = a (a là số thực) thì lim u_n+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a. 

Ta được giới hạn của (u_n) là lim u_n = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và (u_n): .

Lời giải

Giả sử lim u_n = a, khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra ⇒ a² + 2a = 2a + 3 ⇔ a² = 3 ⇔     .

Do u₁ = 1 > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên a > 0 ⇒   

Vậy  .

Ví dụ 2: Tìm lim u_n biết (u_n) có giới hạn hữu hạn và (u_n):   .

Lời giải

Vì    

Giả sử lim u_n = a (a > 0), khi đó lim u_n+1 = a

Suy ra      

Vậy lim u_n = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải: 

* Rút gọn (u_n) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim u_n theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (v_n); (u_n) và (w_n): Nếu thì lim u_n = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (u_n) và (v_n): Nếu thì lim u_n = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

   

 

Lời giải

 

   

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u₁ = 1 và d = 1. 

Tổng n số hạng của cấp số cộng:   

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3² ; 3³ ; … ; 3ⁿ là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u₁ = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:   

 

(Bằng quy nạp ta luôn có  n < 2ⁿ ,∀n ∈ ℕ^* và 3ⁿ > 1, ∀n ∈ ℕ^* ⇒ 3ⁿ⁺¹ − 3ⁿ = 2.3ⁿ > 2 >1 ⇒ 3ⁿ⁺¹ − 1 > 3ⁿ).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:    

Lời giải

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:   

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Lời giải

a) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và  

Nên  

b) S = 1 + 0,9 + (0,9)² + (0,9)³ +... là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 1 và q = 0,9.

Nên  

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...  

b) b = 2,151515... 

Lời giải

a) Ta có a = 0,32111... =  

Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với    

Nên  

b) Ta có b = 2,151515... =    

Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 

Nên  

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?

 

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

 

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Câu 4. Tính giới hạn   bằng

A. 0.                          B. 1.                          C. +∞ .                      D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (u_n) với. Khi đó lim u_n bằng

      

Câu 6. Cho dãy số (u_n) với. Khi đó lim u_n bằng 

 

Câu 7. Tính   bằng:

A. +∞ .                      B. −∞ .                      C. -1.                         D. 0. 

Câu 8. Tính   bằng:

Câu 9. Tính   bằng:

 

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

 

Câu 11. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1, với mọi n ≥ 1. Biết dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn, lim u_n bằng:

 

Câu 12. Giới hạn dãy số (u_n) với  là.

Câu 13. Chọn kết quả đúng của  

A. 5.                          B.   .                        C. −∞ .                      D. +∞ .

Câu 14. Tổng  bằng:

 

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	D	D	A	A	B	B	C	D	D	B	A	D	B	B

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
• Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập
• Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết
• Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập
• Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

---

---

---