Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)



Bài viết Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

1. Lý thuyết

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞. 

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) hay lim un = L hay un → L  khi n → +∞.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu : lim un = +∞ hoặc un +∞ khi n → +∞ 

Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim(−un) = +∞ 

Ký hiệu : lim un = −∞ hoặc un −∞ khi n → +∞

d) Một vài giới hạn đặc biệt

 lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết); Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết),(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(un + vn) = a + b 

lim(un - vn) = a - b 

lim(un vn) = a.b 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

lim(cun ) = c.a 

lim|un | = |a| 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Nếu u≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): 

Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): 

Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞

−∞ 

-

+∞ 

−∞

-

−∞

+∞ 

* Quy tắc tìm giới hạn thương Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

lim un = L

lim vn 

Dấu của vn

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

±∞ 

Tùy ý

L > 0 

+

+

 −∞ 

L < 0

 −∞ 

-

+

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  

2. Các dạng toán

Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

 lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết); Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết),(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

c) lim (-0,999)n 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải: 

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết); Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết),(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)        

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)     

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

 Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu u= L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞ 

−∞ 

-

+∞ 

−∞ 

-

−∞ 

 +∞

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim (n4 − 2n2 +3)

b) lim ( −2n3 + 3n − 1) 

c) lim (5n − 2n)  

Lời giải

a) lim (n4 − 2n2 +3) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Vì lim n4 = +∞; Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  .

b) lim ( −2n3 + 3n − 1) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Vì lim n3 = +∞;Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

c) lim (5n − 2n) = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Vì lim 5n = +∞Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  .

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Vì Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+∞ 

+∞ 

+

−∞ 

−∞ 

-

+∞ 

−∞ 

-

−∞ 

+∞ 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) .

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a. 

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un):Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) .

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a

Suy ra Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) ⇒ a2 + 2a = 2a + 3 ⇔ a2 = 3 ⇔ Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)    .

Do u1 = 1 > 0, Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)∀n ∈ ℕ* nên a > 0 ⇒ Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  

Vậy Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) .

Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  .

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a

Suy ra Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)     

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải: 

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1. 

Tổng n số hạng của cấp số cộng: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3; 3; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

(Bằng quy nạp ta luôn có  n < 2n ,∀n ∈ ℕ* và 3n > 1, ∀n ∈ ℕ* ⇒ 3n+1 − 3n = 2.3n > 2 >1 ⇒ 3n+1 − 1 > 3n).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Lời giải

a) Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

b) S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 +... là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...  

b) b = 2,151515... 

Lời giải

a) Ta có a = 0,32111... = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

b) Ta có b = 2,151515... = Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)   

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Nên Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Câu 4. Tính giới hạn Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  bằng

A. 0.                          B. 1.                          C. +∞ .                      D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (un) vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết). Khi đó lim un bằng

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)       

Câu 6. Cho dãy số (un) vớiGiới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết). Khi đó lim un bằng 

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 7. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  bằng:

A. +∞ .                      B. −∞ .                      C. -1.                         D. 0. 

Câu 8. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Câu 9. Tính Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1, Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) với mọi n ≥ 1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) là.

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Câu 13. Chọn kết quả đúng của Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

A. 5.                          B. Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)  .                        C. −∞ .                      D. +∞ .

Câu 14. Tổng Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) bằng:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết) 

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

D

D

A

A

B

B

C

D

D

B

A

D

B

B

(199k) Xem Khóa học Toán 11 KNTTXem Khóa học Toán 11 CDXem Khóa học Toán 11 CTST

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.




Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học