Giới hạn một bên là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Giới hạn một bên là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm giới hạn một bên.

Giới hạn một bên là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm giới hạn một bên

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x₀ nếu dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x₀ nếu dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ khi và chỉ khi $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ .

2. Ví dụ về khái niệm giới hạn một bên

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^{3}khi0<x<1\\ x-1khi1\le x<3\end{array}\right.$ . Tính $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

Hướng dẫn giải

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho 0 < x_n < 1 và x_n → 1, ta có f(x_n) = $x_n^3$ .

Do đó, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=1$ .

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho 1 < x_n < 3 và x_n → 1, ta có f(x_n) = x_n – 1.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$ .

Ví dụ 2. Tính: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}$ .

Hướng dẫn giải

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n < 4 và x_n → 4 ta có:

$\underset{x_n\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x_n}=\sqrt{\underset{x_n\to 4^{-}}{\lim }\left(4-x_n\right)}=\sqrt{4-\underset{x_n\to 4^{-}}{\lim }{x}_n}=\sqrt{4-4}=0$.

Vậy $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0$ .

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+1khix\ge 2\\ x^{2}khix<2\end{array}\right.$. Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 2 không?

Hướng dẫn giải

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n < 2 và x_n → 2, ta có f(x_n) = $x_n^2$ .

Do đó,$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=4$ .

Với dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n > 2 và x_n → 2, ta có f(x_n) = x_n + 1.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=3$ .

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên hàm số f(x) không có giới hạn khi x → 2.

3. Bài tập về khái niệm giới hạn một bên

Bài 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+1khix>3\\ 3khix=3\\ 3-xkhix<3\end{array}\right.$ . Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 không?

Bài 2. Áp dụng định nghĩa giới hạn một bên của hàm số, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 7^{-}}{\lim }\sqrt{7-x}$ .

b) $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-5}+2x\right)$ .

Bài 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}3x+1khix\le 3\\ a-1khix>3\end{array}\right.$ . Tìm giá trị của tham số a sao cho tồn tại giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)$.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{3}{x-5}$ .

b) $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{7}{x-5}$ .

Bài 5. Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3}{\left|x\right|}$

b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-4x}{\left|x-4\right|}$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

• Giới hạn vô cực là gì

• Quy tắc tính giới hạn vô cực

• Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

• Lũy thừa với số mũ nguyên là gì

• Căn bậc n là gì

---